平面上一种保长度曲线流

摘要

本文主要研究平面上一种保持长度不变的曲线流,即令X(u,t):[a,b]×[0,∞)→R2是平面上一族闭曲线,X(u,0)=X0(u)是一条严格凸的平面闭曲线.考虑如下发展问题:X1=(p-1/k)N,X(u,0)=X0(u),我们将证明在这种流下,曲线的周长不变,所围区域面积增大,曲线越来越圆.最后我们证明在“C”度量下,当t趋向于无穷大时,极限曲线是一个有限圆周(即具有有限半径的圆).更进一步地,如果初始曲线是常宽曲线,那么曲线在这种流下始终保持常宽,并且宽度不变.