算子方法在特殊函数方面的一些应用

摘要

本文研究了算子方法在特殊函数方面的一些应用，例如推广一些多项式函数，构造新的特殊函数等，也进一步研究了它在q-级数方面的一些应用.具体按照章节内容顺序摘要如下：
　　 一、利用算子方法推广了一些多项式函数.首先，通过研究和Laguerre型指数相关的一个迭代同构推广了Tricomi函数和Hermite-Tricome函数，主要研究了推广的3个变量2个指标的Tricomi函数和4个变量2个指标单参数的Hemite-Tricomi函数的一些性质，包括生成函数、递推关系、满足的微分方程以及其它一些函数关系.这些结果包含了S.Khan[80]中的主要结果；其次，利用算子方法定义了和r个变量Gould-Hopper多项式相关的Hermite基的Sheffer多项式.作为特例，主要研究了和r个变量Gould-Hopper多项式相关的Hermite基的Appell多项式的一些性质，包括生成函数和满足的微分方程.这些性质可以用来推导包含这些多项式的一些等式，而且包含了S.Khan[82]的主要结果.
　　 二、利用算子方法构造了一些新的特殊函数.首先，利用算子方法和积分转化来处理分数次导数的问题，定义了一类新的特殊多项式类，研究了它的一些性质，如生成函数、满足的微分方程和一些算子关系等式，此外还研究了它的一些推广形式；其次，利用算子方法定义了一类性质介于Laguerre多项式和Legendre多项式之间的混合函数，并研究了它的一些性质、应用和推广.
　　 三、利用算子方法研究了相关Bernoulli多项式和相关Euler多项式的一些性质.首先，用算子方法研究了单变量的相关Bernoulli多项式和相关Euler多项式的递推关系、所满足的微分方程以及和其它多项式的连接问题等性质.利用算子方法给出了它们的Hermite基的推广，并且研究了推广多项式的一些基本性质和相互之间的联系公式.这些公式包含了M.X.He和P.E.Ricci[78]，Q.-M.Luo和H.M.Srivastava[110]中的某些结果；其次，把2个变量的Bernoulli多项式推广到了多变量的Bernoulli多项式，利用算子方法研究了它们的递推关系、满足的微分方程以及一些表示公式等性质.还从一个新的算子角度定义了伪Bernoulli多项式，并研究了它们的一些基本性质.这些结论补充和推广了G.Bretti和P.E.Ricci[19]中的主要结果.
　　 四、利用算子方法研究相关q-级数的问题.首先，利用一个线性算子Lp构造了q-Appell基多项式，并研究了它们的生成函数和满足的微分方程等性质，还利用这些性质推导了包含这些多项式的一些关系等式；其次，利用一个新的解差分方程的方法证明了几个常用的Cauchy算子等式，然后利用这几个等式得到了双边Rogers-Szego项式的一个生成函数.同时利用参数扩张的技巧，又得到了两个Kalnins-Miller转化的多元推广形式.