频率双向渐进优化方法中的新插值技术

摘要

渐进结构拓扑优化方法是近年来兴起的用于结构形状优化的数值方法。这种方法针对位移、应力、频率或者振型等构造目标函数,从一个基本形状出发,逐步去除结构中低效或无效的材料,从而使剩余结构逐渐趋于优化。
　　 渐进结构拓扑优化方法采用只允许删除单元的单向结构修改策略。双向渐进结构优化方法是对渐进结构拓扑优化方法的改进,不仅允许删除低效单元,而且允许添加有效单元。
　　 在迭代过程的每一步,频率双向渐进结构优化方法都需要确定出可删除单元集合与边界附加单元集合。可删除单元是当前结构的一部分,利用已知主振型即可对删除某单元所引起的特征值改变量进行估计;然而,边界附加单元集合中每一个单元都不在当前结构中,随之引入的新增加结点的振型是未知的,以往的方法采用代数外插方式对新增加结点进行振型外插,然后估算频率改变量。传统代数外插法适宜于整个结构能够用矩形单元或长方体离散的情况,如果结构用不规则单元(例如三角形单元或四边形单元)离散则会遇到困难。
　　 本文主要包含两方面工作。由于四结点平面矩形单元的计算精度不是很高,本文第一部分工作把传统代数外插法推广到八结点平面矩形单元,采取线性和抛物线两种插值方式来估算其中一类边界附加单元结点的未知模态位移,从而计算边界附加单元的灵敏度。算例表明插值方式的选取对于灵敏度有一定的影响,不同插值方式引起结构最终拓扑形状不同。
　　 本文第二部分提出一种基于静力平衡方程组的振型插值技术,用于对边界附加单元的频率改变量进行估计。这种静力学插值方法根据当前结构结点的已知模态位移,建立静力学平衡方程,求解得到新增结点的未知模态位移。本文给出了两种静力学插值方式:整体静力学插值方式和逐单元静力学插值方式,并讨论了两种插值方式的优缺点。整体静力学插值方式进行模态延拓所得到的结点模态位移更具有整体性,而逐单元静力学插值方式进行模态延拓估算出的频率灵敏度数更接近单元的真实频率灵敏度数。与代数外插延拓法相比,静力学插值方法不仅适用于任何形状的单元,而且计算结果具有明确的力学意义。算例表明虽然两种静力学插值方式的结构最终拓扑优化形状并不完全相同,但大体相似,而且进化频率值也比较接近。基于静力平衡方程组的振型插值技术对于将各种类型单元推广应用于频率双向渐进结构优化方法,具有一定的实用价值。