Positive solutions of a singular Dirichlet problem to nonlinear elliptic equations: Existence, uniqueness and boundary behavior

摘要

本文研究下列一类奇异非线性椭圆型方程的Dirichlet问题解的存在性、唯一解和解的边界行为.这里,?是RN中的有界光滑区域.q,p满足(A1)对某一α∈(0,1),q,p∈Cαloc,q在中为正,p在中非负;(A2)Poisson问题和分别存在唯一解v1,v2∈C2+α(?)∩C(?).g,f满足(g1)g∈C1((0,∞),(0,∞)),lims→0+g(s)=∞且g在(0,∞)上是单调递减的;(f1)f∈Cαloc([0,∞),[0,∞)),f在[0,∞)上单调递增(或者(f01)f∈C1((0,∞),(0,∞)),f在(0,∞)上单调递减的);(f2)存在s0>0,使得f(s)s+s0在(0,∞)上单调递减的,且sl→im0+f(s)s+s0=0.本文的主要结果是:定理1在假设条件(g1),(f1)(或者(f01))和(f2)下,问题(1.1)存在唯一解u∈C2+α(?)∩C(?)的充分必要条件是(A1)和(A2)成立.下面关于解的边界行为,是在定理1解的存在唯一性的基础上得到的.定理2如果f满足(f1),g满足(g2)存在Cg>0,使得q满足(Q1)其中其中μ1=μ2=···=μj?1=1,μj>1,μi∈R对于j+1≤i≤m.则问题(1.1)的唯一解u满足这里ψ1是问题的解,且特别的,(i)若Cg=1,可知u满足(ii)若Cg<1且q1=q2=q0,可知u满足这里定理3若f满足(f1),q满足(Q2)且则问题(1.1)的唯一解u满足这里其中k∈Λ,Λ代表C1(0,δ0)∩L1(0,δ0)(δ0>0)中的单调正函数,且其满足特别的,(i)若Cg=1,可知u满足(ii)若Cg<1且q1=q2=q0,可知u满足这里定理4若f满足(f01)和(f3)存在Cf6=0,使得p满足(P1)若(i)若则问题(1.1)的唯一解u满足这里(ii)若则问题(1.1)的唯一解u满足这里ψ2满足且。

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