具有间断系数的非线性混合型方程

摘要

本文中，我们主要研究非线性混合型方程Tricomi问题解的存在性及其唯一性.偏微分方程按照类型可以分为三大类:椭圆型方程、抛物型方程以及双曲型方程.单纯的一种类型方程的研究已经非常成熟，但是对于其中两种类型或者三种类型方程的耦合来说，目前为止，还没有比较完整的理论.特别地，椭圆型方程与双曲型方程耦合方程的研究是非常困难的，我们把这类方程称为椭圆-双曲混合型方程.对于线性椭圆-双曲混合型方程的研究已有较多的结果，但是对于非线性椭圆-双曲混合型方程的理论是非常少的.另一方面，随着人们对物理学中问题的深入研究，许多数学模型都可以化为非线性椭圆-双曲混合型方程边值问题来研究.所以说无论从数学的角度，还是从物理的角度，研究非线性椭圆-双曲混合型方程边值问题都是非常重要的.
　　本文中，我们所研究的问题正是基于E-H马赫反射提出来的.对于E-H马赫结构，在一部分区域上，相应的方程是双曲型的，另外一部分区域上，相应的方程是椭圆型的，并且系数在变型线上是间断的.因此这种类型方程的一个最简单模型就是Lavrentiev-Bitsadze方程(sgny)uxx+uyy=0.但是对于实际问题，上述方程过于简单，并不能真正地刻画原来的问题，为此需要研究更一般方程的边值问题.所以，这里主要研究两类具有Lavrentiev-Bitsadze方程性质的非线性方程，我们把它们称为非线性Lavrentiev-Bitsadze型方程.
　　在本文第三章中，主要考虑如下方程的Tricomi问题(u)xx+(sgny)(1+(u)2x)(u)yy=0.在双曲区域中，方程是一个二阶的非线性双曲型方程，通过Riemann方法给出双曲区域中的形式解，进而将原问题化为一个椭圆混合边值问题，从而得到问题解的存在性.
　　在本文第四章中，主要研究如下方程的Tricomi问题(sgn uy)uxx+uyy=1.当uy＞0时，方程为椭圆型的，当uy＜0时，方程为双曲型的，变型线uy=0是未知的.通过部分hodograph变换将问题化为一个固定的椭圆混合边值问题，进而证明原问题解的存在唯一性.

目录

摘要

第一章 绪论

第二章 预备知识

§2．1 H?lder空间以及加权H?lder空间

§2．2 椭圆混合边值问题

§2．3 先验估计

第三章 变型线已知的非线性混合型方程

§3．1 问题描述及主要结果

§3．2 y=0上的基本关系式

§3．3 椭圆边值问题

§3．4 主要定理的证明

第四章 变型线未知的非线性混合型方程

§4．1 问题描述及主要结果

§4．2 部分hodograph变换

§4．3 线性边值问题

§4．4 主要定理的证明

第五章 展望

第六章 附录

参考文献

作者已发表或已完成的论文

致谢

声明