KAM理论在行星多体问题及GBO方程中的应用

摘要

本文的主要研究内容是KAM理论在行星多体问题及广义的Benjamin-Ono方程（简称GBO方程）中的应用，全文共分为四章.
　　第一章，主要介绍了行星多体问题与KAM理论的背景，研究现状以及本文的主要工作.
　　第二章，主要介绍一些准备知识.首先，介绍行星多体问题的哈密顿模型.其次，介绍研究行星多体问题的过程中，用到的包括Pomcaré坐标及Regular PlanetarySymplectic坐标在内的几组著名的坐标变换.最后，介绍了空间行星多体问题的一个重要结果.
　　第三章，考察空间行星(1+n)体问题miui=∑k≠imimkuk-ui/|uk-ui|3'i=0，1，…，n的哈密顿函数.运用平均化定理，得到其Birkhoff标准型，随后将退化情形的KAM定理(见Berti-Biasco[8])应用到空间行星多体问题中，得到中间维数的低维不变环面.我们着重处理的即是测度估计部分，通过考察频率映射的非退化性及扭转性，给出共振区域的测度估计，最终得到了测度估计定理.
　　第四章，考察一类带周期边界条件的扰动广义Benjamin-Ono方程:ut+(H)uxx+u4ux+扰动项=0.通过选取特殊的指标集，将对应的哈密顿函数化成六次Birkhoff标准型，利用Liu-Yuan[51]建立的处理具有无界扰动向量场的无穷维KAM定理，证明了方程存在大量的具有两个频率的拟周期解.

目录

声明

摘要

第一章 绪论

§1．1 行星多体问题与经典KAM理论

§1．2 哈密顿系统的有界KAM理论

1．2．1 有限维哈密顿系统的有界KAM理论

1．2．2 无限维哈密顿系统的有界KAM理论

§1．3 无穷维哈密顿系统的无界KAM理论

§1．4 本文的主要工作

1．4．1 空间行星(1+n)体问题中间维数的不变环面

1．4．2 扰动的GBO方程的拟周期解

第二章 准备知识

§2．1 空间行星多体问题的哈密顿模型

§2．2 Poincaré坐标

§2．3 Regular Planetary Symplectic坐标

§2．4 空间行星多体问题的重要结论

第三章 空间行星多体问题的中间维数的不变环面

§3．1 平均化定理

§3．2 空间行星多体问题的标准型

§3．3 退化情形的KAM定理

§3．4 测度估计定理

3．4．1 频率映射的非退化性

3．4．2 共振区域的测度估计

§3．5 附录:迭代引理的证明

第四章 广义Benjamin-Ono方程的拟周期解

§4．1 主要结论

§4．2 部分Birkhoff标准型

§4．3 主要定理的证明

参考文献

致谢

攻读博士期间已完成和发表的文章