混合分数布朗运动的性质及其在金融中的应用

摘要

假设BH={BtH，t≥0}是Hurst指数为H∈(0，1)的分数布朗运动，即BH是一个中心Causs过程使得E[BtH]=0，t≥0并且协方差为E[BtHBsH]=(1/2)(t2H+s2H-|t-s|2H),s,t≥0.在木文中，我们主要研究与混合分数布朗运动相关的一些问题。所谓混合分数布朗运动就是独立分数布朗运动的线性组合（看文献[15，72]），这里我们仅仅考虑一个Hurst指数为Ⅱ∈(0，1)的分数布朗运动BH与一个独立布朗运动B的线性组合：MtH(a,b)=aBtH+bBt,t≥0,其中a．b∈R。
　　 首先，在条件(1／2)≤H＜1下我们考虑关于混合分数布朗运动MH(a，b)的赋权局部时(ζ)H(t.x)=(∮to)δ(MsH-x)（1+2H.s2H-1）ds的积分：
　　 这里f是一个确定函数。由使用这个积分我们给出了f(MH)与MH的二次协变差[f(MH).MH]的如下刻画：
　　 并由此对于绝对连续函数我们建立如下的广义It(o)公式其中积分是一个Wick-It(o)型的随机积分这个推广了分数布朗运动的It(o)公式。事实上，对于分数布朗运动相同的结果是不成立的，由于分数布朗运动的二次协变差等于零。
　　 其次，我们研究d≥2-维混合分数布朗运动MH(a，b)的自交局部时以及两个独立的1-维混合分数布朗运动MH1(a1，b1)与MH2(a2，b2)的碰撞局部时我们证明作为两个随机变量，(￡)T与(￡)T在L2中存在，并且他们是光滑（在MeyerWatanabe情形中）。
　　 最后，对于(1/2)＜H＜1我们研究了与混合型分数布朗运动的一个应用问题，考虑了由混合型分数布朗运动驱动的金融市场dX(t)=μXtdt十σXtdBtH+εXtdWt其中积分(∫To)XsdBsH是一个Wick-It(o)型的随机积分，我们得到一个混合分数风险中性定价公式。

目录

文摘

英文文摘

第1章 前言

第2章 分数布朗运动

2.1 分数布朗运动的性质及积分表现

2.2 Wick-It(?)随机积分

第3章 局部时积分与广义It(?)公式

3.1 随机秋分

3.2 局部时积分

3.3 二次协变差

第4章 交局部时

4.1 自交局部时

4.2 碰撞局部时

第5章 混合分数布朗运动在企融中的一个应用

5.1 几个与拟条件期望有关的结论

5.2 混合型分数布朗运动驱动下的期权定价

参考文献

攻读硕士期间发表的论文

致谢