关于多项式导数的恒等式研究

摘要

斐波那契多项式、卢卡斯多项式以及两类切比雪夫多项式是二阶线性递推多项式公式研究的基础，从1202年列昂那多斐波那契提出斐波那契数列到现在，斐波那契数列和斐波那契多项式一直都是被数论专家学者广泛关注的课题，到目前为止，和斐波那契多项式具有类似递推性质的卢卡斯多项式以及两类切比雪夫多项式也成为递推多项式里的重点研究课题。本文就是延续上世纪多项式乘积以及各类多项式之间关系的研究，进一步对斐波那契、卢卡斯多项式的导数进行研究，通过数论里常用的积分变换、三角函数等初等方法进行推算论证，通过斐波那契、卢卡斯以及两类切比雪夫多项式的正交性也推算出了一些证明引理，为定理的证明提供了很大的帮助。 第二章由于卢卡斯多项式的导数可以写为项数和斐波那契多项式的乘积，结构简单，根据之前的相关研究文献，进一步拓展到卢卡斯多项式的导数层面，主要通过多项式的正交性、二项式展开的变形等方法进行公式推算，从而得出几个定理。 第三章主要介绍斐波那契、两类切比雪夫多项式与卢卡斯多项式高阶导数之间的关系，用其他多项式表示卢卡斯多项式高阶导数，通过积分变换等方法得出相关引理，并且完成定理证明。

目录

第一章 绪论

1.1选题背景与意义

1.2主要研究内容及成果

第二章 关于卢卡斯多项式导数的次方和问题的研究

2.1 卢卡斯多项式导数的次方和恒等式

2.2 相关引理证明

2.3 定理的证明

2.4 推论及证明

第三章 关于卢卡斯多项式r 阶导数与斐波那契多项式以及两类切比雪夫多项式的若干恒等式

3.1 多项式r阶导数发展概述

3.2多项式r阶导数与多项式之间的关系

3.2.1 卢卡斯多项式r阶导数与两类切比雪夫多项式的关系

3.2.2 卢卡斯多项式r阶导数与斐波那契多项式的关系

3.2.3 卢卡斯多项式r阶导数与卢卡斯多项式的关系

3.2.4 斐波那契多项式r阶导数与卢卡斯多项式的关系

3.2.5 第一类切比雪夫多项式r阶导数与卢卡斯多项式的关系

3.3 相关引理及证明

3.4 定理的证明

3.5 推论及证明

第四章 总结及展望

参考文献

致谢

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