非线性气动弹性系统求解方法及复杂响应研究

摘要

工程中遇到的动力学系统几乎都是非线性的，线性系统是对非线性系统的一种简化近似。非线性系统的很多特点本质上是无法用线性系统来研究的。然而，由于非线性的存在破坏了叠加原理，导致非线性动力学系统的精确解无法获得。因此，高效、高精度的近似解法是研究非线性动力学系统的关键。
　　本文提出了一种求解非线性动力学系统周期解的简单、高效的半解析法—时域配点法。证明了著名的高维谐波平衡法本质上是配点法，因此，从配点法的角度揭示了高维谐波平衡法产生“混淆现象”的机理，并给出了通用的混淆规则。研究中以亚音速非线性二元机翼颤振模型为对象，使用时域配点法、谐波平衡法、高维谐波平衡法、数值积分法等半解析方法和数值方法分别研究了该动力学系统的分岔、极限环、准周期、混沌和瞬态混沌等动力学行为。具体研究内容包括：
　　提出了时域配点法首先以经典Duffing振子为研究模型提出了时域配点法，严格证明了著名高维谐波平衡法本质上是配点法，而不是之前认为的谐波平衡法的变种。另外，通过增加时域配点法的配点个数发展了一种拓展时域配点法，并使用该方法有效地消除了高维谐波平衡法的多余非物理解。
　　揭示了高维谐波平衡法的“混淆机理”使用时域配点法和高维谐波平衡法求解了二元机翼模型的周期解。在使用高维谐波平衡法求解非线性动力学问题时，高次谐波项会以某种未知规则被误认为是相应的低次谐波项，即所谓的“混淆现象”。我们从时域配点法和高维谐波平衡法的等价关系着手，从配点法的角度成功解释了高维谐波平衡法混淆现象的机理，给出了通用的混淆规则。
　　提出了快速谐波平衡技术一般地，谐波平衡法在求解非线性动力学系统时首先将常微分方程组转化为代数方程组，然后用Newton迭代法求解。在求解二元机翼系统时，我们推导了其代数方程组的显式Jacobi矩阵，从而提高了计算效率。另外，我们使用频谱分析法研究了系统周期响应中各次谐波分量的分布，从而给予谐波平衡法一个选择谐波数的合理建议。
　　研究了立方非线性和间隙非线性二元机翼模型的复杂动力学响应对于立方非线性模型，直接使用四阶龙格库塔法（记为RK4法）仿真系统的各种复杂运动。在间隙非线性模型中，为了避免由于积分步跨越间隙切换点所引起的数值误差，我们使用Henon法与RK4结合的办法（记为RK4Henon法）精确得到了间隙切换点的位置。并且在周期响应、混沌和瞬态混沌响应三种情况下对RK4和RK4Henon法二者的精度做了对比，验证了RK4Henon法的高精度。在考虑立方非线性和间隙非线性的二元机翼中，使用分岔图、相平面图、幅值谱、Poincare映射和Lyapunov指数等方法研究了混沌响应。并在二元机翼模型中，首次发现了瞬态混沌响应。此外，研究了系统参数对其动力学复杂响应的影响。

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第1章 绪论

1.1 引言

1.2 气动弹性力学

1.3 二元机翼颤振

1.4 数学模型

1.5 非线性动力学系统的求解方法

1.6 研究内容

第2章 时域配点法及其与高维谐波平衡法的关系

2.1 引言

2.2 使用时域配点法求Duffing方程周期解

2.3 时域配点法和高维谐波平衡法的等价性分析

2.4 拓展时域配点法

2.5 本章小结

第3章 高维谐波平衡法的混淆机理

3.1 引言

3.2 二元机翼振动的数学模型

3.3 半解析法

3.4 高维谐波平衡法的“混淆机理”

3.5 数值算例

3.6 本章小结

3.7 本章附录

第4章 快速谐波平衡技术

4.1 引言

4.2 谐波平衡法

4.3 显式Jacobi矩阵的推导

4.4 结果与分析

4.5 本章小结

第5章 立方非线性二元机翼的混沌和瞬态混沌响应

5.1 引言

5.2 数学模型

5.3 算例与分析

5.4 本章小结

5.5 本章附录

第6章 间隙非线性二元机翼的混沌和瞬态混沌响应

6.1 引言

6.2 数学模型

6.3 Henon法

6.4 算例与分析

6.5 系统参数的影响

6.6 本章小结

第7章 总结与展望

7.1 论文工作总结

7.2 论文创新点概括

7.3 未来研究展望

参考文献

攻读博士学位期间发表的学术论文及获奖

致谢

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