不变子空间方法在非线性偏微分方程中的应用

摘要

利用不变子空间方法，给出了一般薄膜方程ut=-f(u)uxxxx-g(u)uxuxxx-h(u)u2xx-d(u)u2xuxx+p(u)uxx+q(u)u2x=F[u]的分类．在这些方程中微分算子F[u]允许不变子空间Wn，Wn是由n—阶常系数常微分方程L|y|=y(n)+an-1y(n-1)+…+a0y=0,(n=4,5,6,7,8,9)定义的多项式型、三角型、指数型或者混合型线性子空间．在这些不变子空间中，构造了方程对应类型的精确解，并将这些方程约化为有限维动力系统。 将不变子空间方法进行推广，并用于带有交错扩散项的非线性方程组ut=[f(u,v)ux+p(u,v)vx]x+r(u,v)=F1[u,v]ut=[g(u,v)ux+q(u,v)vx]x+s(u,v)=F2[u,v]的分类，在这些非线性扩散方程组中，向量微分算子(F1[u，v]，F2[u，v])允许不变子空间W1n1×W2n2，而W1n1×W2n2是由常微分方程组L1[y]=y(n1)+an1-1y(n1-1)+…+a1y1+a0y=0L2[z]=z(na)+bn2-1z(n1-1)+…+b1z1+b0z=0定义的线性子空间，n1，n2=2，3，4,5．在不变子空间W1n1×W2n2中，构造了这些方程的精确解，并将它们约化为有限维动力系统．在大多数情况中，这些精确解的两个分量属于不同的“纯量”子空间。 利用与不变子空间方法相关的不变集方法，构造了二维带有能源项的非线性反应扩散方程的精确解．我们给出了在函数集合E1={u：ux=f(t)vxF(u)，uy=f(t)uyF(u)}和E2{u：ux=f(t)a′(x)F(u)，uy=g(t)b′(y)uyF(u)}(f≠g)中不变的反应扩散方程，并得到它们的精确解，这些解可以看成多孔介质方程的自相似解的推广，还描述了这些精确解及其对应介面的行为。

目录

文摘

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声明

第一章 绪论

1.1非线性偏微分方程(组)

1.2偏微分方程的精确解

1.3线性不变子空间方法

1.4本文主要研究的内容

第二章 不变子空间方法在一般薄膜方程中的应用

2.1引言

2.2方程(2.1)的分类

2.2.1四维不变子空间

2.2.2五维、六维、七维、八维、九维不变子空间

2.3例子

2.4一类非线性演化方程初值问题关于时间t的幂级数解

第三章 不变子空间方法的推广及其在非线性交错扩散方程组中的应用

3.1引言

3.2不变子空间方法的推广

3.3方程组(3.1)的分类

3.3.1 W15×W25(最大维)

3.3.2 W51×W24

3.3.3 W15×W23

3.3.4 W15×W22

3.3.5 W14×W23

3.3.6 W14×W23

3.3.7 W14×W22

3.3.8 W13×W23

3.3.9 W13×W22

3.3.10 W12×W22

3.4例子

第四章 二维非线性扩散方程的不变集和不变解

4.1引言

4.2不变函数集合E1

4.2.1 v(x，y)=(x2+y2)/2

4.2.2 v(x，y)=xy

4.2.3 v(x，y)=Ins√x2+y2

4.3不变函数集合E2

4.3.1 a(x)=x2/2，b(y)=y2/2

4.3.2 a(x)=x，b(y)=y2/2

第五章总结和展望

参考文献

攻读博士学位期间取得的科研成果

致谢