短区间上Hardy和的均值

摘要

设整数h，q满足q＞0.Hardy和的定义为:H(h，q)=q-1∑j=1（-1）j+1+[hj/q]，其中[x]表示不超过x的最大整数.本文利用特征的基本性质、Euler乘积公式、剩余系的性质以及Dirichlet L-函数的均值定理，对Hardy和在短区间上的均值做了进一步研究.
　　首先，研究了素数模上Hardy和的加权均值，并给出了相应的渐近公式.∑a≤p/3∑b≤p/3abH(2a(b)，p)=(3645L2(3,x3)/5824π6-√3L2(3,x3)/1056πL(5,x3)-1/360)p4+O(p3+∈)，∑a≤p/4∑b≤p/4abH（2a(b)，p）=(1/1024-61L2(3,x4)/7808πL(5,x4))p4+O(p3+∈)∑a≤p/3∑b≤p/4abH(2a(b)，p)=(9√3L(3,x3)L(3,x4)L(4,x3x4)/256π4L(6,x3x4)-1/3840-15√3L2(3,x3)/45056πL(5,x3)-73L2(3,x4)/17568πL（5，x4))p4+O(p3+∈），其中∈为任意小的正数，x3为模3的非主特征，x4为模4的非主特征，L(s，x)=+∞∑n=1x(n)/ns表示Dirichlet L-函数.
　　其次，研究了合数模上Hardy和的均值，得到了下面的结论.∑a≤q/4∑b≤q/4H（2a(b)，q）=3/16q2Πpα‖q+O(q1+∈),(1-1/p2）（1-1/p3α-（1+1/p+1/p2）（1/p2α-1/p3α））/(1+1/p2)(1+1/p+1/p2)其中Πpα‖q表示对所有满足pα|q和pα+1(|)q的素数p求积.

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摘要

第一章绪论

§1．1 Hardy和表为经典的Dedekind和

§1．2 Hardy和的2m次幂均值

§1．3 Hardy和的均值

§1．4 本文的主要研究内容

第二章 预备知识

§2．1 欧拉函数

§2．2 Dirichlet特征

§2．3 Dirichlet L-函数

第三章 关于素数模上Hardy和的加权均值

§3．2 Hardy和的加权均值表为Dirichlet L-函数的均值

§3．3关于Dirichlet级数的一些恒等式

§3．4 Dirichlet L-函数的均值

§3．5 定理3．1．1的证明

第四章 关于合数模上Hardy和的均值

§4．2 Hardy和的均值表为Dirichlet L-函数的均值

§4．3 Dirichlet L-函数的均值

§4．4 定理4．1．1的证明

第五章 总结与展望

参考文献

攻读硕士学位期间取得的科研成果

致谢