缓增分数阶扩散方程的循环与反循环分裂迭代算法

摘要

缓增分数阶扩散方程是通过乘以缓增指数因子，修正了分数阶扩散方程，更好的描述自然界中生命力有限的微粒或有限空间中的反常扩散现象。缓增幂律跳跃分布产生了缓增空间分数阶导数，缓增幂律等待时间得到了缓增时间分数阶导数，从而改善了分数阶扩散方程的缺陷。近年来，缓增分数阶扩散方程的数值算法引起人们研究兴趣。本文主要研究了两类不同参数的循环与反循环分裂迭代法，快速求解缓增分数阶扩散方程的数值解。本文的主要工作如下：
　　（1）对于缓增分数阶两点边值问题，利用缓增加权移位的Grümvald差分算子（tempered-WSGD）近似缓增Riemann-Liouville分数阶导数，得到的线性系统中的系数矩阵是一个稠密、非对称、具有Toeplitz结构的矩阵。用循环与反循环分裂迭代法求解该Toeplitz系统，在每次迭代时，通过使用快速傅里叶变换求解线性系统，计算量仅需要O（NlogN），N表示空间网格的节点个数。并详细证明循环与反循环分裂迭代法是无条件收敛的，数值算例表明该算法是可行有效的快速算法。
　　（2〉对于扩散系数相等的缓增分数阶两点边值问题，用tempered-WSGD对缓增Riemann-Liouville分数阶的左右导数进行逼近，得到了一个对称的、正定的，具有Toeplitz结构的线性系统。利用双参数循环与反循环分裂迭代法求解Toeplitz系统，并对收敛性进行了证明，且分析了双参数的选取。数值算例表明快速算法的收敛速度快。
　　（3）对于缓增分数阶扩散方程，用隐式的二阶有限差分格式离散之后得到一个对称的、正定的，具有Toeplitz结构的线性系统，双参数的循环与反循环分裂迭代法应用到求解Toeplitz系统，并证明了该方法无条件收敛于线性系统的唯一解，数值实例也验证了双参数的循环与反循环分裂迭代法的收敛速度是快速的。

目录

声明

1绪论

1.1研究背景与意义

1.2缓增分数阶扩散方程数值解的国内外研究进展

1.3 文章的主要工作和章节安排

2缓增分数阶微积分基本理论

2.1缓增分数阶微积分的定义和性质

2.2 缓增分数阶两点边值问题的差分离散

2.3矩阵向量相乘的快速算法

3缓增分数阶两点边值问题的循环与反循环分裂迭代算法

3.1 CSCS迭代方法

3.2 CSCS迭代法的收敛性

3.3 数值算例

3.4本章小结

4缓增分数阶两点边值问题的双参数循环与反循环分裂迭代算法

4.1双参数CSCS迭代法

4.2 双参数CSCS迭代法的收敛性

4.3最优参数的选择

4.4 数值算例

4.5本章小结

5.1缓增分数阶扩散方程的离散

5.2缓增分数阶扩散方程的双参数CSCS迭代法

5.3双参数CSCS迭代法的收敛性

5.4数值算例

5.5本章小结

6.1总结

6.2展望

致谢

参考文献

附录