含多个时间分数阶反常扩散方程的反问题研究

摘要

近几十年,分数阶微积分及分数阶扩散方程被越来越多的用来描述分形介质和复杂多相介质中的反常扩散过程,对于分数阶扩散相关问题的研究已成为数学界及工程学界的关注热点.含多个时间分数阶反常扩散方程是基于多尺度时间分数阶扩散叠加而得到的分数阶反常扩散模型,本文致力于对这类复杂反常扩散方程的求解和参数反问题的研究.
　　本文首先考虑含多个时间分数阶反常扩散方程正问题的求解.对于齐次线性问题,利用分离变量法、Laplace变换及特征函数展开得到基于Mittag-Leffler函数的解析解.这是第二章的主要内容.其次,探讨反常扩散方程的有限差分求解,包括一维变系数扩散和二维变系数扩散方程,通过估计差分格式系数矩阵的谱半径,证明格式的无条件稳定性和收敛性.数值计算结果表明,数值解能够较好地吻合精确解.这是第三章的主要内容.
　　对于含多个时间分数阶反常扩散方程反问题的研究,本文第四章、第五章与第六章分别探讨由终值数据确定初始分布的逆时反问题、由内点观测数据识别多个时间微分阶数的反问题以及关于空间依赖扩散系数与源项的联合反演问题等三类反问题.对于逆时反问题,利用Mittag-Leffler函数的性质证明反问题解的存在唯一性,并分析其不稳定性；对于识别多个时间微分阶数的反问题,利用Laplace变换及特征函数展开证明反问题的唯一性；对于扩散系数与源项的联合反演,基于正问题解的表达式,给出解算子关于未知系数函数的Lipschitz连续性,并利用Sobolev嵌入定理证明该联合反演问题对应的误差泛函极小问题解的存在性,这也为反演算法的构建奠定了理论基础.
　　同时,对于上述三类反问题,本文利用同伦正则化方法开展数值反演研究.从优化的角度,反问题求解化为误差泛函的极小问题,同伦正则化算法就是基于正则化策略和同伦思想,利用有限维逼近、线性迭代和梯度近似求解极小问题的有效方法.文中给出大量数值反演算例（包括一维和二维情形）,并对不同参数取值条件下,反演算法的计算机实现进行详尽讨论.数值结果表明,同伦正则化算法对于含多个时间分数阶反常扩散方程的参数反问题求解是有效的,它不仅具有很高的反演精度,而且对于附加数据的随机扰动也具有一定的稳定性.

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第一章 绪 论

1.1 分数阶反常扩散方程与反常扩散现象

1.2 反问题与不适定问题

1.3 含多个时间分数阶反常扩散方程的反问题概述

1.4 本文主要工作

第二章 含多个时间分数阶反常扩散方程

2.1 正问题的适定性

2.2 正问题的解析解

2.3 本章小结

第三章 正问题的数值求解

3.1 一维齐次常系数反常扩散方程

3.2 一维非齐次变系数反常扩散方程

3.3 二维齐次常系数反常扩散方程

3.4 二维非齐次变系数反常扩散方程

3.5 本章小结

第四章 确定初始函数的反问题

4.1 逆时反问题

4.2 反演算法

4.3 数值反演

4.4 本章小结

第五章 确定微分阶数的反问题

5.1 反演解的唯一性

5.2 一维反常扩散方程的数值反演

5.3 二维反常扩散方程的数值反演

5.4 本章小结

第六章 扩散系数与源项的联合反演

6.1 解算子的Lipschitz连续性

6.2 误差泛函极小问题

6.3 数值反演

6.4 本章小结

第七章 总结与展望

7.1 总结

7.2 展望

参考文献

在读期间公开发表的论文

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