非标准分析理论在线性拓扑空间与集值映射上的若干应用

摘要

在分析学领域中，拓扑学是一个重要的数学分支，本文主要讨论拓扑空间中一类特殊的空间——线性拓扑空间及其上的相关理论。如果空间E是线性空间，同时又是拓扑空间，而且E中的代数运算按其拓扑连续，我们称这一类重要的空间E是一个线性拓扑空间，它可以看做线性距离空间的一种推广。在对线性拓扑空间的讨论和研究中，我们总是假定线性拓扑空间是Hausdorff线性拓扑空间。
　　本文通过非标准分析的理论对线性拓扑空间进行了研究，结论如下：⑴在拓扑空间中，给出了集合稠密、无处稠密的概念，并应用非标准分析理论进行刻画和证明；⑵给出了拓扑空间中映射的连续、上半连续、下半连续的非标准特征。应用非标准分析的方法对拓扑空间中映射的连续性进行了证明；⑶对线性拓扑空间进行了非标准刻画与证明，并应用此刻画讨论了线性拓扑空间中凸集、凸包的性质；⑷在Hausdorff拓扑空间中，应用非标准分析方法定义了集族上的Vietoris拓扑，进而在 Vietoris拓扑上定义了两类新单子:C-单子,I-单子。并应用C-单子和I-单子的定义及非标准分析理论讨论了Hausdorff空间中一族集网按Vietoris拓扑收敛的几个性质；⑸应用非标准分析理论对 Hausdorff拓扑空间上集值映射的上半连续、下半连续、连续、弱下半连续的概念进行了刻画和证明，给出了集值映射F的图的非标准刻画，应用非标准分析的方法研究了集值映射连续性的相关性质。

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1. 绪论

1.1引言

1.2 非标准分析的产生背景及发展现状

1.3 本课题的主要研究内容及意义

2. 非标准分析理论

2.1 滤子

2.2 超结构与全域

2.3 形式语言、转换原理与逼近定理

2.4 非标准模型及其性质

3. 拓扑空间的相关理论及其非标准刻画

3.1 拓扑空间的基本理论及其非标准刻画

3.2 集合的稠密与无处稠密

3.3 拓扑空间中映射的上（下）半连续

4. 线性拓扑空间上映射的非标准刻画

4.1 线性拓扑空间的非标准刻画

4.2 线性拓扑空间上的凸集与凸包

4.3 线性拓扑空间上的线性映射

5. Vietoris拓扑以及C-单子和I-单子

5.1 Vietoris拓扑和集网收敛性

5.2 C-单子和I-单子

5.3 集值映射的上(下)半连续

6.总结与展望

致谢

参考文献

附录 硕士研究生期间发表论文情况