黎曼流形的曲率、拓扑与Mobius特性研究

摘要

本文主要研究了单位球面中子流形的曲率、拓扑性质和Mobius特征以及Willmore子流形、类空子流形和局部对称黎曼流形中超曲面的曲率与拓扑性质,具体内容如下:1.研究了单位球面S<'n+1>(1)中具常数量曲率的n维紧致超曲面,给出了Cheng Q.M.所提出的关于单位球面中紧致超曲面的一个重要问题的拓扑回答.并对单位球面中具高余维数的非零平均曲率子流形给出了一个拓扑分类定理,推广和改进了Cheng Q.M.关于具常数量曲率的紧致子流形的一个分类定理.同时对具两个不同主曲率的超曲面给出了其曲率与拓扑性质的分类定理.2.研究了S<'n+p>(1)中无脐点且Mobius形式消失的子流形的Mobius特性,利用Mobius不变量——迹为零的Blaschke张量A以及Mobius截面曲率和Ricci曲率刻画了子流形的Mobius特性,并对Mobius法联络平坦的子流形给出了一个分类定理.3.研究了S<'n+p>(1)中Willmore子流形的曲率与拓扑,建立了单位球面中Willmore子流形的几个重要的积分恒等式.利用这些积分恒等式得到了Willmore子流形的关于截面曲率和Ricci曲率的内蕴刚性定理.并对法联络平坦的Willmore子流形给出了一些重要的分类定理.4.证明了de Sitter空间S<'n+p><,p>(c)中具平行平均曲率向量的完备类空子流形当H<'2>>c时其第二基本形式模长平方是上有界的.5.给出了de Sitter空间S<'n+1><,1>(c)中具两个不同主曲率的完备类空超曲面的一个分类定理,并对平均曲率与数量曲率成线性关系的类空超曲面进行了研究,得到了一个重要的分类定理.6.研究了局部对称黎曼流形中极小浸入完备超曲面和具常平均曲率的完备超曲面,得到了这种超曲面的两个分类定理,推广了Shui N.X.和Wu G.Q.,Hlineva S.和Belchev E.以及Alencar H.与do Carmo M.等人在紧致情况下的结果.

目录

文摘

英文文摘

独创性声明及关于论文使用授权的说明

第一章绪论

§1.1 Riemannian流形的曲率拓扑与Mobius特性的研究现状

§1.2内容安排

第二章单位球面中子流形的曲率与拓扑

§2.1单位球面中具常数量曲率的超曲面

§2.2 Sn+1(1)中具两个不同主曲率的紧致超曲面

§2.3 Sn+p(1)中的紧致子流形

第三章Sn+p(1)中子流形的Mobius特性

§3.1 Blaschke张量与Mobius特性

§3.2 Mobius截面曲率与Mobius特性

§3.3 Mobius数量曲率、Ricci曲率与Mobius特征

第四章Willmore子流形的曲率与拓扑

§4.1 Willmore子流形的积分等式

§4.2 Willmore子流形的截面曲率与Ricci曲率的刚性定理

§4.3具平坦法联络的Willmore子流形

第五章de Sitter空间中的类空子流形

§5.1 de Sitter空间中具平行平均曲率向量的完备类空子流形

§5.2具有两个不同主曲率的完备类空超曲面

§5.3 n(n-1)R与H成线性关系的类空超曲面

第六章局部对称流形的完备超曲面

§6.1局部对称流形的完备极小超曲面

§6.2具常平均曲率的完备超曲面

结束语

参考文献

致谢

在读期间发表或撰写的主要论文

在读期间主持和参加的科研项目