一类广义非线性强阻尼的Sine-Gordon型方程解的存在唯一性

摘要

目前，一方面，由于实际问题及其它学科的推动，另一方面，由于数学自身发展的深入，无穷维动力系统的研究已经成为动力系统领域中重要的研究课题之一。动力系统中有限维动力系统的研究至少已有三十年的历史，并取得许多重要的成果。但动力系统的问题远远不限于有限维的情况，最近物理上已发现一大批具有孤立子的非线性发展方程。例如kdv方程，非线性Schrodinger方程，Zakharov方程等，在一定的耗散作用下从孤立子演化为混沌的现象。此外某些耗散的偏微分方程，如：反应扩散方程，Navier-stokes方程，Kuramoto-Sivashinskey方程等都有类似现象。这些都说明对无穷维动力系统的研究已经势在必行，它具有某些新的重要特征。 本文对物理学中提出的非线性强阻尼Sine-Gordon型方程进行了研究，给出了该方程在不同的初边界条件下以及不同空间下解的存在性及唯一性。具体研究内容如下： (1)首先，对实际应用中的某些无穷维动力系统的研究现状及研究方法进行了总结与评述，尤其是对无穷维动力系统的门槛—解的存在唯一性进行了重点评述，特别是对一些Sine-Gordon型方程的初边值问题进行了总结。 (2)其次，在Roger-Temam所提出的Sine-Gordon模型的基础上，对于非线性金属杆，若同时考虑材料粘性效应，介质阻尼；几何非线性，物理非线性；并在弹性杆上施加轴向载荷的作用，我们建立了更一般的金属杆的非线性强阻尼的Sine-Gordon型方程。 (3)对于所建立的非线性强阻尼的Sine-Gordon型方程：ü+α(u)-u(2)+g(sinu)=β(u)(2)+f(x，t)我们利用了Galerkin方法，在齐次边界条件(a)：u(0，t)=0，u(l，t)=0及初始条件：u(x，0)=u0(x，0)，(u)(x,0)=u1(x，0)下给出了在H10(Ω)中整体弱解的存在唯一性，及它对初值的连续依赖性的证明，以及系统在H10(Ω)∩H2(Ω)中解的存在唯一性，及它对初值的连续依赖性的证明。同时也证明了β=0时该方程在强阻尼边界条件(b)：u(0，t)=0，u(1)(l，t)=-γu(l,t)下局部解的存在唯一性及它对初值的连续依赖性。

目录

文摘

英文文摘

论文说明：主要符号说明

第一章绪论

第二章函数空间及Sine-Gordon型方程

第三章基本假设及主要结果

第四章对于边界条件(a)在H10(Ω)中的整体弱解

第五章对于边界条件(a)在H10(Ω)∩H2(Ω)中的整体解

第六章边界条件(b)下的局部解

第七章某些展望

参考文献

致谢

攻读硕士期间发表的学位论文