具有周期边界的Fitzhugh-Nagumo方程整体解的存在唯一性与整体吸引子

摘要

Hodgkin-Huxley(HH)模型是Hodgkin和Huxley在1952年通过对神经纤维中神经冲动传播的研究提出的，是用来描述神经元的轴突中膜电位和膜电流之间关系的微分方程组。该方程组是可兴奋细胞的经典模型。Fitzhugh-Nagumo(FHN)模型是对HH模型的简化。近些年来，对这类模型已做了大量的研究，但是对神经脉冲传导方程在外刺激下的研究还较少，研究此类方程不仅有理论意义，更有重要的实际背景。
　　 首先，本文讨论了外刺激下具有周期边界的神经脉冲传导的FHN方程初边值问题，即如下的方程组
　　 u1=uxx+f(u)-v+I1(x，t)(1)
　　 v1=σu-γv+I2(x，t)(2)在周期边界
　　 u(x+2d，t)=u(x，t)，v(x+2d，t)=v(x，t)(3)及初始条件
　　 u(x，0)=u0(x)，v(x，0)=v0(x)(x∈Ω)(4)下整体解的存在性及唯一性问题。
　　 其次，讨论了外刺激下具有耦合的FHN方程
　　 u1t=u1xx+f(u1)+α(u2-u1)-v1+I3(x，t)(5)
　　 u2t=u2xx+f(u2)+α(u1-u2)-v2+I4(x，t)(6)
　　 v1t=σu1-γv1+I5(x，t)(7)
　　 v2t=σu2-γv2+I6(x，T)(8)
　　 在周期边界
　　 ui(x+2D，t)=ui(x，t)，vi(x+2D，t)=vi(x，t)i=1，2(9)
　　 及初始条件
　　 ui(x，0)=ui0(x)，vi(x，0)=vi0(x)(x∈Ω)i=1，2(10)
　　 下整体解的存在唯一性和整体吸引子的存在性问题。
　　 其中，Ω=[0，2D]，t∈[0，T](00，γ>1/2是已知常数，f(u)，f(u1)，f(u2)是已知实函数，u，u1，u2表示神经纤维中的电势，v，v1，v2与细胞膜的恢复机制有关，Ii(i=1，2，…6)是外部刺激。
　　 具体研究内容如下：
　　 第一，对与本文相关的神经脉冲传导的FHN方程及耦合的FHN方程一的发展和研究现状进行了简单的介绍：
　　 第二，给出了一些重要概念和引理；
　　 第三，利用Galerkin方法，证明了问题(1)-(4)和问题(5)-(10)整体解的存在性及唯一性，同时证明了问题(5)-(10)整体吸引子的存在性；
　　 第四，对神经脉冲传导的FHN方程的研究作了某些展望。