若干非线性可积系统的孤子解、呼吸子解和怪波解

摘要

孤子理论在非线性科学中占有重要的地位，它的兴起开辟了非线性科学研究的新方向，成为求解非线性偏微分方程的主要手段.特别地，在流体力学、非线性光学、等离子物理等自然科学领域中涉及的非线性模型问题大部分可以利用孤子方程来描述.本文主要基于达布变换方法对三个不同的非线性可积系统进行求解，包括经典的复数mKdV系统，相干耦合非线性薛定谱系统和AB系统.
　　全文具体安排如下：
　　第一章首先介绍了孤子理论在近年来的研究发展.其次，说明潘勒维可积性质和达布变换方法的具体思想.最后，对全文工作进行概括.
　　第二章研究了经典的复数mKdV系统的潘勒维可积性质，并利用达布变换方法求解方程在连续波背景下的单、双呼吸子解、局域解以及平行波解.然后，根据图像来描述孤子解的传播性态.
　　第三章分析了相干耦合非线性薛定谔系统，此系统描述各向同性介质中偏振光波的传播.在达布变换算法的支持下，分别在常数背景和连续波背景下求得孤子解、呼吸子解、束缚孤子解和一阶怪波解.并通过图像仿真来讨论这些解的动态特征.
　　第四章讨论了AB系统的无穷守恒律，并根据达布变换，求得系统的单、双孤子解和束缚孤子解.同时，绘出解的图像.
　　第五章总结全文并展望未来.

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第一章 绪论

1.1 引言

1.2 研究方法

1.2.1 潘勒维（Painlevé）性质

1.2.2 达布变换

1.3 本文主要工作

第二章 复数 mKdV 系统的呼吸子解和局域解

2.1 潘勒维（Painlevé）分析

2.2 达布变换

2.3 单呼吸子解和局域解

2.4 双呼吸子解和平行波解

第三章 相遇耦合非线性薛定谔系统的呼吸子解与怪波解

3.1达布变换

3.2 常数背景下的弧子解

3.3 连续波背景下的呼吸子解和怪波解

第四章 AB系统的无穷守恒律和弧子解

4.1 无穷守恒律

4.2 达布变换

4.3 弧子解

第五章 总结与展望

参考文献

致谢

攻读学位期间发表的学术论文