李群理论和函数变换在非线性发展方程（组）求解中的应用

摘要

本文利用相容性方法、经典李群方法和修正的CK直接方法研究了以下四组非线性发展方程(组)：(2+1)维 Caudrey-Dodd-Gibbon(CDG)方程、(2+1)维 Potebtial Boiti-Leon-Manna-Pempinelli(PBLMP)方程、(2+1)维广义Kadomtsov-Petviashvili-Benjamin-Bona-Mahony(gKP-BBM)方程和变系数Whitham-Broer-Kaup(VCWBK)方程组.通过求解以上方程(组)的李点对称,并利用所得对称约化原方程,并求解得到了大量新的精确解.
　　在第一章中,利用经典李群法得到了(2+1)维CDG方程的对称、约化,并通过解约化方程得到了该方程的一些精确解.
　　在第二章中,相容性方法求出 PBLMP方程的对称、约化,通过解约化方程得到了该方程的一些精确解,包括有理函数解,双曲函数解,三角函数解，Jacobi椭圆函数解.
　　在第三章中,利用经典李群方法对(2+1)维 GKP-BBM方程对称和约化,借助三个辅助方程得到了许多的精确解,并且给出GKP-BBM方程的守恒定律.
　　在第四章中,利用修正的Clarkson-Kruskal(简称CK)直接法对变系数WBK方程组进行等价转化,建立了变系数WBK方程组与常系数WBK方程组解之间的关系,并得到了常系数WBK方程组的一些对称和相似约化.借助辅助函数法得到了变系数WBK方程组的一些新精确解.
　　综上所述,本文的主要特色有一下三点：第一,本文对提出了求解变系数非线性发展方程的一个新思路,通过本文的行文可以看出是行之有效的,在现有的文献中是没有出现过;第二,建立了变系数方程与常系数方程之间的等价关系、高维非线性发展方程与低维非线性发展方程之间的等价关系、偏微分方程与常微分方程之间的等价关系.使原本求解比较困难的非线性发展方程求解起来更加容易、简便、具有可操作性.第三,建立了新旧解之间的关系,对已有结果进行了推广.

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前言

第一章 (2+1)维Caudrey-Dodd-Gibbon方程相似、约化、精确解

1.1 引言

1.2 (2+1)维CDG方程的经典对称

1.3 (2+1)维CDG方程的约化和精确解

1.4 结论

第二章 (2+1)维Potential Boiti-Leon-Manna-Pempinelli方程的对称、约化和精确解

2.1 引 言

2.2 PBLMP方程的新旧解之间的关系和对称群

2.3 PBLMP方程的相似约化和精确解

2.4 结论

第三章广义KP-BBM方程相似、约化、精确解及守恒律

3.1 引 言

3.2 GKP-BBM方程的经典对称

3.3 GKP-BBM方程的约化和精确解

3.4 GKP-BBM 方程守恒律

3.5 结论

第四章 变系数Whitham-Broer-Kaup方程组的对称、约化及精确解

4.1引言

4.2 VCWBK方程组的等价变换

4.3 常系数WBK方程组的对称及相似约化

4. 4 VCWBK方程组的新精确解

4.5 结论

参考文献

致谢

攻读硕士学位期间发表的学术论文