时滞微分方程的周期正解及其在种群模型中的应用

摘要

常微分方程是近代数学的一个重要学科分支，随着现代化社会的发展，无论是在工程、宇航、生态等自然科学领域还是在经济、金融等社会科学领域，都有着广泛的应用．然而在现实世界中，众多系统未来的状态不仅依赖于目前的状态而且还依赖于过去某个时刻或某段时间内的状态．从而，利用常微分方程来描述这类事物的发展变化过程，只是对其真实情况的近似处理．为了更准确地刻划这些实际问题，用时滞微分方程作为数学模型更符合其本质属性．因而有关时滞微分方程的研究无论在理论上还是在应用上都具有非常重要的意义。此外，常微分方程的周期解的存在性及稳定性问题是一个很有意义的研究课题．它体现了一种结构平衡性和稳定性，在核物理学、电路信号系统、生态系统、流行病学和控制论等领域都有着很重要的意义．同样地，时滞微分方程的周期解的存在性及稳定性问题也具有非常大的研究价值．特别地，在种群动力学中，种群受到环境变化的影响，尤其是周期性变化的环境(如气候、食物等)的影响，因而种群动力学中的数学模型可以假设其中一些变量具有周期性．自然地，这些模型的周期解存在性及其稳定性成为众多学者的研究对象． 本文将对时滞微分方程周期正解的存在性和稳定性及其在种群模型中的应用进行深入系统的研究。 第一章，首先介绍了时滞微分方程的研究意义和现状，特别总结了有关时滞微分方程与中立型时滞微分方程的周期解存在性的研究方法与已有结果的局限性。另外，本章还介绍了本文的主要工作、内容安排以及一些预备知识。 第二章，利用一个关于减算子的不动点定理，给出了Lasota-Wazewska模型的唯一ω-周期正解、x的存在性条件．特别地，本章不仅给出了收敛于该周期正解x的迭代函数列{x<,n>)，还利用任意正解与该周期正解x的差的振动性，证明了x的全局吸引性．即，给出了该周期正解x的近似表示．进而使得本章的结果具有较大的实际应用价值。与已有文献相比较，本章的结果更加易于验证。 第三章，利用一个关于减算子的不动点定理，给出了血液细胞生成模型的唯一ω-周期正解x的存在性条件．此外，本章不仅给出了收敛于该周期正解x的迭代函数列{x<,n>)，还利用任意正解与x的差的振动性以及该周期正解的性质，证明了x的全局吸引性．即，给出了该周期正解x的近似表示．进而使得本章的结果具有较大的实际应用价值．与已有文献相比较，本章的结果更加易于验证。 第四章，首先应用锥理论和非紧性测度(Kuratowski)理论，证明了一个关于严格集压缩映象的不动点定理，进而改进了相关文献中的已有结果．然后利用此不动点定理研究更一般的中立型时滞微分方程获得该方程存在ω- 周期正解的一个易于证实的充分条件．进一步将此结果应用于下列中立型时滞微分方程改进了相应文献的已有结果，并给予公开问题(Open problem 9.2[19])一个明确的答复．可以看出，利用本章所证明的不动点定理来研究中立型时滞微分方程的周期解存在性问题，是一个较好的方法。 第五章，应用一个关于严格集压缩映象的不动点定理，研究了中立型时滞 Lotka-Volterra 系统获得了该系统存在ω-周期正解的一个充分条件．与已有文献相比较，本章的结果推广和改进了相应的已有结果，且本章的结果更加易于验证。 第六章，应用一个关于严格集压缩映象的不动点定理，考虑了下列具有反馈控制的中立型时滞微分系统获得该中立型微分系统存在ω-周期正解的一个充分条件，推广并改进了相应文献中的已有结果，且本章的结果更容易证实。

目录

文摘

英文文摘

承诺书

第一章绪论

1.1研究背景

1.2本文主要工作及内容安排

1.3预备知识

第二章Lasota-Wazewska模型的唯一周期正解的存在性与全局吸引性

2.1引言

2.2预备知识及引理

2.3唯一周期正解的存在性与全局吸引性

第三章血液细胞生成模型的唯一周期正解的存在性与全局吸引性

3.1引言

3.2唯一周期正解的存在性

3.3唯一周期正解的全局吸引性

第四章一类中立型时滞微分方程的周期正解的存在性

4.1引言

4.2预备知识及引理

4.3周期正解的存在性

第五章中立型时滞Lotka-Volterra系统的周期正解的存在性

5.1引言

5.2预备知识及引理

5.3周期正解的存在性

第六章带有反馈控制的中立型时滞微分系统的周期正解的存在性

6.1引言

6.2预备知识及引理

6.3周期正解的存在性

总结

参考文献

攻读博士学位期间的主要研究成果

致谢

作者简介