有限P-群的中心自同构群

摘要

设G为有限群，M和N均为G的正规子群，本文用CAutG(G/M，N)表示G的既中心化G/M又中心化N的全部自同构所构成的群.在自同构群的研究中，一个基本而重要的问题是确定CAutG(G/M，N)的结构.2007年Attar证明了:如果G为有限非交换p-群，则CAutG(G/Z(G),Z(G))=Inn G当且仅当G的幂零类为2且Z(G)是循环群.2008年Yadav将其推广为:
　　如果G是有限非交换p-群且M是G的一个中心子群，则CAutG(G/M，Z(G))=Inn G当且仅当G的幂零类为2，G'≤M且M是循环群.
　　注意到G的内自同构群InnG同构于商群G/Z(G)，故上述两个定理本质上给出了当M或N为特殊子群时CAutG(G/M，N)的结构描述.本文在更为一般的条件下确定了CAutG(G/M，N)的结构，所得结果推广了Attar和Yadav定理.本文中的主要结论如下:
　　定理1.设G为任意有限群，M和N均为G的正规子群且M≤Z(N)，则CAutG(G/M，N)(≌)Der(G/N，M).其中Der(G/N，M)表示从G/N到M的所有导子构成的交换群.
　　从定理1出发可推导出以下有用的结论.
　　推论1.设G为任意有限群，M，N均为G的正规子群且M≤N∩Z(G)，则CAutG(G/M，N)(≌)Hom(G/N，M).
　　应用推论1证明了本文的第二个主要结果.
　　定理2.设G为有限p-群，M，N均为G的正规子群且M≤N∩Z(G)，则CAutG(G/M，N)(≌)G/N的充要条件是G'≤N，M为循环群，且exp(G/N)≤expM.
　　使用定理2即可推出Attar和Yadav定理.
　　推论2.如果G为有限非交换p-群，则CAutG(G/Z(G),Z(G))=InnG当且仅当G的幂零类为2且Z(G)是循环群.
　　推论3.如果G是有限非交换p-群且M是G的一个中心子群，则CAutG(G/M，Z(G))=InnG当且仅当G的幂零类为2，G'≤M且M是循环群.
　　定理3.如果G是有限非交换p-群且G'≤M≤Z(G)，则CAutG(G/M,Z(G))=Z(Inn G)当且仅当Hom(G/Z(G)，M)(≌)Z2(G)/Z1(G).

目录

摘要

引言

一 预备知识

二 主要结果及其证明

三 结论

参考文献

论文发表情况

个人简况

致谢

声明