共形几何代数的应用实例分析

摘要

在计算机图形学和计算机视觉领域中，传统上都是用线性代数为数学框架对其进行研究。现在将要使用的一个新的数学系统是几何代数，尤其是五维共形几何代数，它统一了过去使用的各种数学系统，能够以简便和富有几何直观的方式应用于我们的问题中。本文探讨了几何代数在计算机应用领域中的两个重要应用，主要研究内容包括： （1）对几何代数的结构特性、对几何变换的描述、计算手段等方面做了系统的研究分析。几何代数是在Clifford代数的基础上，建立的一种更具概括性数学语言。对共形几何代数中与计算机应用领域相关技术进行描述和分析，并在此基础上分析共形几何代数与传统代数框架在表示、计算上的区别和联系。 （2）2D-3D姿态估计问题的几何部分包含多个空间，共形几何代数能够对此提供统一表示；欧氏空间中旋转操作是一个线性操作，而平移不是，由于平移操作的非线性性，刚体位移不再具有线性特性，本文应用共形几何代数旋量和扭量表示得到2D-3D姿态估计问题的线性表达。 （3）应用共形几何代数对全景视觉问题的统一模型建模，结合四圆获得的射影不变量，为进一步复杂应用提供了简单的基础。共形几何代数之所以非常适用于此类问题是因为它不仅能表示点、直线和平面这些普通的几何体，还能表示点对、圆和球（统一模型中需要的几何对象）。所有这些几何对象都是基于球的（例如点是半径为零的球，平面是半径无限长的球），并且它允许以一种简洁的方式来进行不同的运算和变换。不仅如此，它使我们能脱离坐标系定义模型，只需要运用几何对象之间的几何关系。

目录

文摘

英文文摘

声明

第1章 前言

1.1课题来源、研究背景和意义

1.1.1课题来源

1.1.2课题研究背景和意义

1.2研究现状

1.3主要研究内容

1.4论文组织结构

第2章 几何代数

2.1外积(The Outer Product)

2.1.1外积零空间

2.1.2外张量的大小

2.1.3外张量的逆

2.2内积(The Inner Product)

2.2.1内积零空间

2.2.2内积零空间的几何解释

2.2.3对偶

2.2.4交操作

2.3几何积(The Geometric Product)

2.4共形几何代数(CGA)

2.4.1球极平面射影

2.4.2射影共形几何代数

2.4.3共形几何形体的表示

2.4.4共形几何代数中的运算表示

2.5本章小结

第3章 2D-3D姿态估计

3.1引言

3.2姿态场景

3.3共形几何代数原理

3.3.1共形变换

3.4基于点的姿态估计

3.4.1点线约束

3.4.2约束方程

3.4.3姿态参数的数值估计

3.5本章小结

第4章 全景视觉和不变量

4.1前言

4.2全景视觉

4.2.1全景视觉和几何代数

4.2.2点投影

4.2.3逆点投影

4.3不变量和全景视觉

4.4本章小结

第5章 总结

参考文献

个人简历、在学期间的研究成果

致谢