概率方法在组合恒等式证明中的应用

摘要

木论文的主要内容是结合组合数的概率表示以及相应的概率方法重新证明了一些组合恒等式,并且得到了一些新的结果,主要包括两个方面。
　　 第一,寻找新的关于组合数恒等式。首先寻找一个恰当的基础恒等式,然后把基础恒等式中的变量换成随机变量或者随机变量的组合,通过整理就可以得到一个关于随机变量的全新的恒等式,同时两边取期望,利用组合数概率表达形式进行还原,这样就可以得到一个由某个组合数或某些组合数构成的恒等式。在本论文中运用上边提到的这种方法,得到了关于第一类、第二类Stirling数,Bell数6月,调和数Hn,Fibonacci数,错排数d(n),Euler数,Bernoulli数的新的恒等式,另外若把基础恒等式中的参数换成不同的随机变量,则会得到不同的恒等式。
　　 第二,证明关于Euler多项式的恒等式。首先利用Euler变量的概率表达形式重新证明了其具有的几个性质,在其证明中体现了概率方法在组合证明中的简洁性及有效性。其次,利用Euler数构造了一个复发生函数,然后把此发生函数看成随机变量X=iL-1／2的特征函数,再利用独立随机变量的特征函数的乘积与其乘积的特征函数相等的性质,得到一个由Euler多项式En(t)表示的tn,再由Euler多项式En(t)的概率表达式得到一个由tn表示的Euler多项式En(t),从而得到了一个关于Euler多项式的反演公式。