一类反对称特征值问题的向后误差和条件数

摘要

向后误差和条件数是数值代数中的两个基本概念:前者反映数值方法的向后稳定性,后者揭示问题的解关于原始数据扰动的敏感性,它们都是判断一个计算解的质量的基本工具.按照Higham的观点,在一阶近似下,二者结合可给出计算解的误差估计:
　　 计算解的误差()条件数×向后误差.
　　 对于有实际背景的矩阵问题,给定矩阵通常具有某种特殊的结构,对此,计算数学的主要目标是发展保结构算法.若对保结构算法的计算结果进行分析,使用下式更为合理:
　　 计算解的误差()结构条件数×结构向后误差.
　　 本文考虑特征值问题
　　 在研究Stiefel流形上的测地线计算[1]时,可导出上述问题.该问题的系数矩阵同时具有反对称性及零块结构,即双结构.本文主要研究该类特征值问题在实扰动情形下的双结构向后误差和条件数.此外,测地线的计算还广泛应用于最优化问题的求解.该特征值问题的求解是测地线计算过程中的一个非常重要的环节,本文的研究将有助于提高这一环节结果的精确度.
　　 本文由以下三部分组成:
　　 第一部分,简要概括分析向后误差与条件数的主要方法,综述结构向后误差与条件数以及结构特征值问题的向后误差与条件数的发展背景与研究现状,并进一步阐述本文的研究内容及主要结果.
　　 第二部分,研究上述特征值问题的结构向后误差.给出实扰动情形下范数型双结构向后误差的易于计算的表达式,并利用数值实验,将双结构向后误差与一般反对称结构向后误差(Tisseur的结果)进行比较.
　　 第三部分,研究上述特征值问题的结构条件数.给出复扰动情形下双结构条件数的易于计算的表达式,以及实扰动情形下双结构条件数的上下界.