Hilbert空间中几种框架性质的研究

摘要

1952年， Du ffin R J和Schaef fer A C在研究非调和Fou rier级数时，抽取了Gabor在信号处理中的重要思想提出了Hilbert空间中框架的概念，但框架理论在非调和Fourier级数以外，在相当长的时间内，并没有引起人们的兴趣和重视。自从小波分析这门应用数学学科诞生以来，尤其在1986年I.Daubechies等发现使用框架可将L2(R)函数展开成类似于标准正交基展开后的级数后，许多研究者将框架理论应用到小波分析中，使框架这门学科在应用和理论方面得到发展。目前，框架被广泛应用到小波分析、信号处理、数据压缩、样本理论等领域。另外，由于算子理论和Banach空间理论的引入，框架理论得到进一步的发展。对基和框架的性质和扰动的研究，可以更深刻地认识基和框架的构造及特点。2005年孙文昌教授对特殊的框架进行研究（如外部框架、偏斜框架等），在总结他们的共同特点的基础上，提出了 g-框架的概念，g-框架是Hilbert空间中的一般框架的推广。本文从不同的角度，应用不同的方法研究了几种基和框架的性质，并得到了一些有意义的结果。
　　本文有以下几部分组成。
　　第一章：绪论。阐述了框架理论的发展历程以及在各个阶段的重要成果，同时介绍了当前框架研究的发展方向。
　　第二章：主要阐述Hilbert空间中Bessel框架的一些性质。
　　第三章：主要阐述Hilbert空间中Riesz基和Riesz框架的一些性质。并对Riesz框架的扰动做了探讨。
　　第四章：首先提出g-框架、g-完备的、g-标准正交基的基本概念，利用算子理论讨论了Hilbert空间中g-框架算子S的相关性质，在此基础上对g-框架的扰动和g-框架的稳定性作了介绍，推广或改进了已有的相应结果。

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1绪论

1.1框架的发展历史

1.2框架理论的研究成果

1.3本文的主要工作

2 Hilbert空间中的Bessel框架性质探究

2.1引言

2.2 Bessel框架的性质探究

3 Hilbert空间中的Riesz框架性质探究

3.1 引言

3.2基本概念和性质

3.3Riesz框架的扰动

4 Hilbert空间中的G-框架的性质探究

4.1引言

4.2 g-框架的相关性质

4.3 g-框架的扰动

4.4 g-框架的稳定性

参考文献

致谢

攻读硕士学位期间发表的论文