弹性梁方程边值问题的正解

摘要

本文主要研究了一类四阶p-Laplace弹性梁方程边值问题正解的存在性.利用一种新的锥上的不动点定理和一种新的数值迭代方法分别得到了正解的存在性条件，并将数值解法应用到一类三阶两点边值问题中得到了正解的存在性条件.根据内容，全文共五章.
　　第一章，介绍了弹性梁方程边值问题的研究背景和发展概况.
　　第二章，研究了一类四阶p-Laplace边值问题正解的存在性问题.利用一个新的锥上的不动点定理证明了正解的存在性.新不动点定理的好处在于能够将非线性项中的各个变元放到一个锥上同时进行讨论，从而给出了解u(t)以及导数u″(t)的范数估计.同时通过Green函数的性质，给出了一个条件更弱的正解存在性条件.最后给出例子验证结果.
　　第三章，研究了一类四阶p-Laplace边值问题迭代解的存在性问题.由于p-Laplace算子是非线性算子，无法得到相应的极大值原理，很难应用上下解方法求得迭代解.本章提出了一种新的数值迭代方法，在Banach空间中构造了一个闭球，利用Banach不动点定理得到了迭代解的存在性，并分析了数值迭代法处理此类边值问题的局限性.随后利用matlab进行数值模拟，分析图像性质.
　　第四章，利用第三章的新数值迭代方法处理了一类非线性项含有各阶导数的三阶两点边值问题.由于三阶微分算子是线性算子，得到了迭代解收敛速率的线性估计，而这在p-Laplace边值问题中是无法得到的.最后给出例子验证结果.
　　第五章，本文的总结与展望.

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1 绪论

1.1 弹性梁方程边值问题的研究背景及现状

1.2 本文的选题思路和内容安排

2 一类四阶p-Laplace 边值问题正解的存在性

2.1 引言

2.2 预备知识

2.3 主要结果

2.4 例子

3 一类四阶p-Laplace 边值问题迭代解的存在性

3.1 引言

3.2 预备知识

3.3 主要结果

3.4 例子与数值模拟

4 一类三阶两点边值问题迭代解的存在性

4.1 引言

4.2 预备知识

4.3 主要结果

4.4 例子与数值模拟

5 总结与展望

5.1 结论

5.2 展望

参考文献

致谢

攻读学位期间取得的学术成果