二阶差分方程特征值问题及复离散哈密顿系统的变换

摘要

本文主要讨论两方面的内容.一是二阶差分方程周期和反周期边值问题的特征值，二是复离散哈密顿系统的Prüfer变换和三角变换. 对于微分方程周期和反周期边值问题的特征值，Coddington和Levinson，Hale，Magnus和Winkler[1，2，3]等人研究二阶微分方程边值问题特征值的性质，并比较周期和反周期两种边值问题的特征值，获得一些很漂亮的结果.这些结果被章梅荣[4]推广到一维p-拉普拉斯算子. 而对于差分方程边值问题的特征值，Atkinson，Bohner，Jirari，史玉明，陈绍著[5，6，7，8，9，10]等人做出很大贡献.但是，对于二阶差分方程的周期和反周期边值问题的特征值及其比较却鲜有讨论.因此，本文的一个主要目的就是探讨这一问题. 本文要讨论的第二个问题是复离散哈密顿系统的变换.在经典的Sturm-Liouville理论中，Prüfer变换和三角变换是研究方程振动性，谱理论等的重要工具.随着高维系统研究的深入，Barrett[11]建立连续的三角系统，从而为这两种变换在高维情形下的推广奠定基础.利用三角系统，Barrett，Reid，郑召文[11，12，13]得到连续哈密顿系统的Prüfer变换，并获得一系列哈密顿系统的振动性结论.而Do(s)l(y)[14]则把三角变换推广到连续哈密顿系统. 对于差分方程的研究，Anderson[15]首先建立一种特殊的离散三角系统，引入高维离散的正弦，余弦函数，从而使Prüfer变换和三角变换能够拓展到离散的情形.Bohner和Do(s)l(y)[16，17，18]对此做出主要贡献.他们定义一般实离散三角系统的概念，利用该系统给出实辛差分系统的Prüfer和三角变换，并由此获得实辛差分系统的一些振动性判定定理. 但是，Bohner和Do(s)l(y)的变换仅针对实差分系统，而对于更广泛的复差分系统，如复离散哈密顿系统则不适用.本文的另一个主要目的就是给出更一般的复离散三角系统的概念以及复离散哈密顿系统的Prüfer变换和三角变换.全文共分为三章.每章的第一节简要介绍所研究问题的背景. 第一章研究二阶差分方程周期和反周期边值问题的特征值.第二节是第三、四节的准备工作.首先给出Wronskian恒等式，然后利用Atkinson[5，Chapter4]的结果得出Dirichlet边值问题特征值的性质和一个特殊的振动性结论(见引理3.2.3).之后，根据史玉明和陈绍著的结果[9，Lemma2.1和Theorem4.1]，得到周期和反周期边值问题特征值存在性及其个数.另外，还给出一个非齐次线性方程初值问题解的表达式.第三节建立周期和反周期边值问题特征值之间的关系(见定理3.3.1)，这一结论可看作Coddington和Levinson[1，Chapter8，Theorem3.1]的离散形式.第四节给出第三节中一个关键引理的证明. 第二、三两章主要研究复离散哈密顿系统的变换.第二章为第三章做铺垫.因为复离散三角系统为一种特殊的复辛差分系统，所以第二章第二节首先介绍复辛差分系统的一些概念和某些有用的相关引理，然后提出复离散三角系统的定义.第三节介绍三角系统的几条性质并给出一个三角系统的判定定理.该判定将在第三章的证明中起重要作用.另外，三角系统可转化为另一种更易研究的特殊三角系统. 第三章第二节说明任意复离散哈密顿系统可以转化为一个辛系统，而辛系统不一定能转化为一个哈密顿系统，并给出几个引理.其后的定理3.2.1可看做[13，引理2.3.1]的离散形式.本章一个重要结论—Prüfer变换也在第二节给出.第三节主要证明三角变换，这种变换保持原系统的振动性.另外，第二，三两节结尾处几个注释说明本文建立的两个变换包含[16，18]中的结论.

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文摘

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第一章二阶差分方程周期及反周期边值问题的特征值

第二章复离散三角系统

第三章复离散哈密顿系统的变换

参考文献

致谢

攻读硕士学位期间发表及完成的论文