一类抛物型方程组的特征差分格式和特征有限元格式

摘要

本论文就一类有界区域上抛物型方程组模型问题，提出特征差分格式和特征有限元格式，并给出了理论分析和数值实验.杜宁在2003年提出此模型的一类经济特征差分格式，在我的文章中，采用二次插值代替线性插值，用能量模方法分析了稳定性和收敛性，最后给出了数值算例；在对对流项系数做了必要的假设后，分析了此模型的特征有限元格式，实质上拓广了J.Douglas，Jr.等人的工作，丰富了对此模型问题的研究和应用.全文一共分两章，两章的数学模型为： {(ψ)(x)(e)u/(e)t-[▽x,A(x,t)▽xu]=B(x,t)▽xu+f(x,t)(x,t)∈Ω×(0,T)],u(x,t)=0(x,t)∈(e)Ω×(0,T)],u(x,0)=u0(x)x∈Ω. 两章中只是B(x，t)有点差异. 在第一章中，一共分四节：第一节，引入特征线后，将抛物型方程组转变成等价的形式: {~(ψ)(x，t)(e)u/(e)r-[▽x,A(x,t)▽xu]=B1(x,t)▽xu+f(x,t),(x,t)∈Ω×(0,T)]u(x,t)=0(x,t)∈(e)Ω×(0,T)],u(x,0)=u0(x)x∈Ω. 第二节中，就此等价的形式提出了特征差分格式： {(ψ)1,iUn1,i--Un-11,i/△t-δx(an11δxUn1)i-δ-x(an12δxUn2)i=bn12,iUn2,i+1-Un2,i-1/2h+fn1,i,0≤-xi≤1(ψ)1,iUn1,i/kn1,i-δ-x(an11δxUn1)i-δ-x(an12δxUn2)i=bn12,iUn2,i+1-Un2,i-1/2h+fn1,i,-xi＜0,-xi＞1{(ψ)2,iUn2,i--Un-12,i/△t-δ-x(an21δxUn1)i-δ-x(an22δxUn2)i=bn21,iUn1,i+1-Un1,i-1/2h+fn1,i,0≤^xi≤1(ψ)2,iUn2,i/kn2,i-δx(an21δxUn1)u-δx(an22δxUn2)i=bn21,iUn1,i+1-Un1,i-1/2h+fn2,i,^xi＜0,^xi＞1 第三节，分析了特征差分格式的稳定性和收敛性，并给出了如下两个定理： 定理1.1(特征差分格式的稳定性定理) 如果抛物型方程组的系数满足假设条件(Ⅰ)，且△t=O(h2)，U1n-1(x)和U2n-1(x)由二次插值定义，则特征差分格式的解按l2范数稳定. 定理1.2(特征差分格式的收敛性定理) 设抛物型方程组的系数满足假设条件(Ⅰ)，其解u∈L∞(0，T；w4,2(Ω))，且(e)2u/(e)2r∈L2(0，T；l2).U是特征差分格式的解，则max0≤tn≤T‖un-Un‖≤K(‖u‖L∞(0,T;w4,2(0,1))h2+‖(e)2u/(e)2r‖L2(0,T;l2)△t) 第四节中：我们就一个具体例子给出数值实验. 第二章中，一共分四节：第一节同上一章第一节；第二节，提出了特征有限元格式： {<(ψ)(x)Un+1--n/△t,v>+∫Ω[A(x,tn+1)▽xUn+1,▽xv]dx=(A)v∈μh=(A)v∈μh 第三节中分析了特征有限元格式的收敛性，并给出了如下定理： 定理2.1(特征有限元格式的收敛性定理) 假设u是抛物型方程组的解，且系数满足条件假设(Ⅱ)，U是特征有限元格式的解，则 max0≤tn≤T(u-U)n‖2L2+△tM∑n=0‖(u-U)n‖2H10≤K((△t)2+h2r+2) 第四节，给出了具体的数值算例.

目录

文摘

英文文摘

前言

原创性声明及关于学位论文使用授权的声明

第一章抛物型方程组的特征差分方法

第二章抛物型方程组的特征有限元方法

参考文献

致谢