滤波器，频率响应及小波集

摘要

小波分析的前身是Fourier分析.Fourier分析应用广泛，但也有着不可忽视的缺点，即不能很好的描述函数的局部性，从而大大限制了它的应用.小波分析就是在Fourier分析的基础上逐渐发展起来的一门较新的学科.它既能保持Fourier分析的优点，又能弥补它的缺陷，从而从其一诞生便得到了快速的发展.小波分析的核心内容之一就是小波的构造，而多尺度分析是构造小波的重要以及主要方法，所以多尺度分析与小波的关系就成为小波分析研究的—个重要问题.R.A.Zalik在[35]中给出了Riesz小波与MRA关系的一维情形.其中包括一个充要条件(命题2.2)和几个等价条件(定理2.4).而且给出了具体的例子，利用文章给出的条件来判断小波是否由MRA得到.我们从这篇文章出发，主要讨论与Riesz小波和MRA相关的几个问题. 本文正文共分三节. 第一节共分两部分. 第一部分给出了框架，Riesz基，多尺度分析(MRA)的定义以及MRA与小波的关系的定义，首先把Zalik在[35]中给出的一个关于Riesz小波与多尺度分析关系的定理推广到了高维，然后把判断Riesz小波是否由多尺度分析得到的充要条件([35，定理2.4])应用到具体的例子上，而且把此定理的一个条件换成了更为直观的说法.最后是关于由Riesz小波的伸缩平移生成的空间的值域的一个定理. 第二部分首先给出了滤波器的一个性质：当Riesz小波由多尺度分析得到时我们得到的一个关于低通滤波器和高通滤波器的矩阵是满秩的；第二个定理是高维多尺度分析的频率响应的一个性质的证明. 第二节刻画了d维欧式空间Rd的框架与Riesz基.首先给出了Rd中的m个向量(m＞d)是Rd的紧框架的充要条件，然后给出了一般框架以及Riesz基的一个充分条件，随后是Rd的框架的一个具体例子，最后是关于构成框架的向量组成的矩阵的一个性质. 最后一节是关于小波集的综合报告，总结了近几年来关于小波集的最新结果.作者从最简单的情况：二进伸缩，一维整数平移开始叙述，逐步进行推广.首先是把二进推广到A进，然后又把平移算子推广到d维整数空间Zd上去.后来又描述了与L2的子空间上的小波集以及与MRA相关的一些结果.

目录

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引言

第一节Riesz小波与多尺度分析及相关问题

第二节d维欧式空间Rd中的框架与Riesz基

第三节小波集

参考文献

致谢