几类发展方程的最小二乘有限元方法

摘要

现代科学技术的发展在很大程度上依赖于物理学,化学和生物学的成就和进展,而这些学科自身的精确化又是他们取得进展的重要保证。学科的精确化往往是通过建立数学模型实现的。很多现象的模型是发展状态下的偏微分方程。在许多情况下,我们对于解的梯度函数的逼近和对解本身的逼近同样甚至更为重要。因此混合有限元方法得到广泛的应用[1,2,3,4]。然而,众所周知在应用混合元方法时有限元空间必修满足Ladyzhenskaya[5]-Babuska[6]-Brezzi[2](LBB)一致性条件。这就限制了空间的选择。而最小二乘有限元方法引进了残量最小化,使得这种方法不需要验证LBB条件。这样我们可以更灵活的选择有限元空间。[7]已经给出了证明。并且,最小二乘有限元方法的离散形式是对称一致正定的。
　　对于最小二乘有限元方法以及它在椭圆方程边值问题上的应用人们已经进行了大量的研究,[7-15]关于方法的椭圆性以及收敛性建立了系统的理论。近些年来,最小二乘法逐渐拓展应用到与时间相关问题。参看文献[16,17,18,19,20]。
　　在本文中,我们研究几类发展方程：抛物型积分微分方程,Sobolev方程,二阶双曲方程,拟线性双曲方程。对于这几类问题还没有最小二乘法的收敛性理论分析结果。我们将最小二乘有限元方法应用到这几类方程,进行数值分析,取得了比较好的数值结果。
　　全文共分四章。
　　第一章研究了抛物型积分微分方程。此类问题可以由一些物理过程引申出来。在这些过程中,由于一般扩散方程的亏量,我们必须考虑到记忆的作用。抛物型积分微分方程在多孔介质非局域反应流问题,液体流中的核辐射问题[21].具有记忆的热传导问题[22,23.24]以及生物技术[25]等实际问题中有着广泛的应用。对于线性或非线性积分微分方程,人们通过标准有限元方法和混合元方法进行了大量的工作。参看文献[26-32]。在这一章中我们应用最小二乘有限元法处理此问题。积分项给理论分析带来了困难,在此章中我们解决了这一问题。§1.1是引言部分,介绍了问题的物理背景和已有的工作.在§1.2中,我们引进新的变量,对此类问题构造了两种新型数值方

目录

Abstract \(In English\)

Abstract \(In Chinese\)

Chapter 1 Analysis of The Least-squares Galerkin Procedures for Parabolic Integro-differential Equations

1.1 Introduction

1.2 Least-squares Galerkin Finite Element Procedures for Parabolic Integro-differential Equations

1.2.1 Numerical Methods

1.2.2 Convergence Analysis

1.2.3 Numerical Example

1.3 Crank-Nicolson Least-squares Galerkin Procedures for Parabolic Integro-differential Equations

1.3.1 Numerical Methods

1.3.2 Convergence Analysis

1.3.3 Numerical Example

1.4 A Least-squares Galerkin Procedures with The Method of Character-istics for Convection-dominated Parabolic Integro-differential Equations

1.4.1 NumericalMethod

1.4.2 Convergence Analysis

Chapter 2 Analysis of Least-squares Galerkin Procedures for Sobolev Equations

2.1 Introduction

2.2 Numerical Methods

2.3 Convergence Analysis

2.4 Numerical Example

Chapter 3 Analysis of Least-squares Galerkin Procedures for Second-order Hyperbolic Equations

3.1 Introduction

3.2 Numerical Methods

3.3 Convergence Analysis

3.4 Numerical Example

Chapter 4 Analysis of Least-squares Galerkin Procedures for Pseudo-hyperbolic Equations

4.1 Introduction

4.2 Numerical Methods

4.3 Convergence Analysis

4.4 Numerical Example

Bibliography

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