二阶双曲型方程的交替有限元分析

摘要

双曲型方程(组)在许多数学物理领域有着广泛的应用，具有深刻的物理背景，例如波动方程，因而得到广大数学T作者和工程技术人员的普遍关注和重视。不论从理论还是从数值分析上都有必要全面而深入地研究。 本文作者在袁益让教授地精心指导下，就具有广泛应用背景地双曲型方程(组)地的数学模型问题利用有限元方法的技巧，构造了具有良好计算效果的交替方向有限元格式，并对此格式作了理论上的分析。 交替方向有限元方法是在交替方向法和有限元的基础上提出的，它继承了交替方向法将高维问题转化为一系列一维问题，进而简化计算量和存贮量的优点，而且还具有有限元方法精度高的特点。此外由于该方法良好的并行特性，更能适合在现代的大型超级计算机上进行并行计算。 本文共分三部分。第一部分主要叙述双曲型方程交替方向有限元方法的发展背景，已有的一些成果以及本文的纲要。 在第二部分中将首先对一类二阶非线性双曲型方程组建立三层交替方向有限元格式。这种方法主要思恕是通过对方程组适当添加扰动项，使得到的刚度矩阵能够写成张量积的形式，从而转化为求解多个线性方程组；同时将其余项移至右端，这样得到的线性方程组系数矩阵不依赖于时间，只需一次分解，因此格式具有较小的计算量。由于所解线性方程组的系数矩阵都是和一维问题相关的，存储量也就相应较小。通过分析该格式的误差方程，得到格式的刚一模误差估计。 在第三部分，我们利用变量替换法对一类二阶线性双曲型方程建立了二层交替方向有限元格式。通过把家用新的变量φ来代替，然后对关于时间t进行离散，进而建立二层交替方向有限元格式。该格式不受等时间步长的限制，更具灵活性；同时减少一个时间层的存储量。理论分析部分则分别给出了该格式的砩H<'1><,0>-模和L<'2>-模误差估计。

目录

文摘

英文文摘

原创性声明及关于学位论文使用授权的声明

第一章研究背景及本文纲要

第二章非线性双曲型方程组的交替有限元方法

第三章线性双曲型方程的交替方向有限元方法

参考文献

致谢