关于三类对称函数的Schur-凸性的研究

摘要

1923年,I.Schur引进了控制关系和Schur-凸函数两个最基本的概念.1979年,Marshall和Olkin的名著“Inequalities:Theory of Majorization and Its Applications”系统地阐述了控制不等式理论,从此Schur-凸性理论研究引起了人们的广泛兴趣.目前,Schur-凸性的研究非常活跃,众多文献中讨论了对称函数的Schur-凸性,且在数学其它分支中有重要应用,并获得了众多经典结果.
　　 1923年,I.schur证明了初等对称函数Ek(x)和商Ek(x)/Ek-1(x)(1≤k≤n)的Schur-凸性问题,1999年,石焕南教授首先研究了初等对称函数差Ek(x)-Ek-1(x)的Schur-凸性,之后文[29](1957),[30](1961),[31](2004)和文[32](2010)也研究了此类的问题.
　　 另外,2007年,关开中在文[16]中定义并研究了对称函数:
　　 Gn(x;k)=Gn(x1,x2,…,xn;k)=∑∏xi/1-x,x∈(0,1)n
　　 1≤i1<…　　 (其中n≥2,1≤k≤n,1≤i1<…　　 本文,首先定义了两类对称函数φ(x;f,k)和φ(x;f,k):
　　 φ(x；f,k)=φ(x1,x2,…,xn；f,k)=Ek(f(x))-Ek-p(f(x)),x∈In,
　　 φ(x；f,k)=φ(x1,x2,…,xn；f,k)=Ek(f(x))/Ek-p(f(x)),x∈In
　　 (其中,I()R为区间,f:I→R，k,p,n∈N+,1≤k≤n),然后研究了φ(x;f,k)和φ(x；f,k)的Schur-凸性、Schur-几何凸性和Schur-调和凸性及其应用问题.
　　 另外,我们还定义了对称函数:
　　 G(x;k,s,t)=Gn(x1,x2,…,xn；k,s,t)=∑∏xi/1-x,x∈(0,1)n
　　 1≤i1<…0,t>0),并研究了对称函数Gn(x；k,s,1)和Gn(x；k,s,s)的Schur-凸性、Schur-几何凸性和Schur-调和凸性,得到了一般结果,并顺便解决了对称函数Gn(x；k)的Schur-几何凸性和Schur-调和凸性问题.