分数阶微积分理论在粘弹性流体力学及量子力学中的某些应用

摘要

本论文由彼此相关而又独立的五章所组成．第一章为序言，简要介绍了本文所需的数学工具，也即分数阶微积分的基本概念、发展历史及应用．在§1．1节和§1．2节中，简要介绍了分数阶微积分的发展历史及其最近的应用，给出了Riemann-Liouville型分数阶积分算子<,0>D<'-α><'t>(0< (α)<1)、微分算子<,0>D<'β><,t>(0< (β)<1)和局部分数阶导数D<'q>f(y)的定义及主要性质，并讨论了分数阶积分和微分算子的Laplace变换．在§1．3节中，给出了广义Mittag-Leffler函数E<,α,β>(z)的定义及其某些重要公式．在§1.4节中，给出H-Fox函数的定义、级数表达式、渐近性态及其基本性质，并讨论了H-Fox函数的特例，如广义Mittag-Leffier函数E<,α,β>(z)和H<'1,1><,1,2>(z)，Fox-H函数是求解分数阶微分方程的有力工具．在最后一节，简要阐述了分数阶微积分理论在与本文内容相关的几个领域内的研究进展．本章是以后各章的基础． 在第二章研究了分数阶广义Maxwell流体在环管内旋转非定常Couette流动模型．首先将标准的整数阶Maxwell流体模型推广至如下的分数阶形式;T-+K<'α><'0>D<'α><,t>T=υγ 然后应用积分变换，主要是Laplace变换和Weber变换，以及离散求逆Laplace变换技巧，求得该运动模型的精确解： 其中A(λ<,i>，t)如下所示通过数值作图，结合解的形态讨论，我们分析了Maxwell模型的解的构造，讨论了流场中速度分布的特点及其缘由.本章所得结论与已有文献一致. 第三章研究了广义Maxwell流体和广义二阶流体在环管内的轴向非定常Couette流动问题.在§3.2节，导出了运动的本构方程组及初边条件.在§3.3节中，我们求得了广义二阶流体和广义Maxwell流体在环管内轴向非定常Couette流动的精确解，在§3.4中，对一种更为一般的运动模型做了分析.假设内管的运动速度不是常数，而是一个函数，f(t)=kt，在§3.5节中，通过数值模拟，分析了分数阶参数对模型及流场中速度分布的影响，并指出在广义Maxwell流体轴向非定常Couette流动的流场速度分布中有振荡存在． 在第四章，研究了广义时空分数阶SchrSdinger方程，并对它的某些应用做了研究．首先，在§4.1节中给出了广义时空分数阶SchrSdinger的表达式，然后对自由粒子和方势阱这两个经典量子力学中的典型例子做了求解，并将解用广义Mittag-Leffier函数表示出来，借助于Mellin变换以及其他积分变换工具，我们求得了广义时空分数阶SchrSdinger方程对自由粒子的Green函数，在本章最后一节，我们将本章中研究的例子与经典量子力学中的例子做了比较，并指出二者之间的关系． 在第五章中，我们借助于Dirac符号，发展了一种求解分数阶扩散方程和分数阶SchrSdinger方程的新方法，并做了几个例子的求解．在§5.2节中，用算子的方法求得了分数阶扩散方程的Green函数，然后在§5．3节中，应用这种方法求解了时间分数阶扩散方程，并得到了其解的表达式，在ξ5．4节中，我们讨论了这种方法在经典的扩散方程中的应用．

目录

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符号说明

第一章预备知识

§1.1分数阶微积分(Fractional Calculus,FC)的历史回顾

§1.2分数阶微积分的定义和性质

§1.3 Mittag-Leffler(M-L)函数

§1.4 H-Fox函数

§1.5 FC理论在各类复杂系统中的应用

第二章分数阶广义Maxwell流体非定常Couette流动的精确解

§2.1引言

§2.2模型的基本方程组

§2.3模型的精确解

§2.4结果讨论

§2.5结论

第三章两类分数阶粘弹性流体在环管内轴向非定常Couette流动的精确解

§3.1引言

§3.2运动模型及控制方程

§3.3模型的精确解

§3.4几个特例

§3.5结果讨论

§3.6结论

第四章广义时空分数阶Schr(o)dinger方程

§4.1引言

§4.2广义分数阶Schr(o)dinger方程

§4.3概率流

§4.4自由粒子的解

§4.5方势阱中的解

§4.6广义Schr(o)dinger方程对自由粒子的Green函数

§4.7讨论

§4.8Conclusion

第五章一种求解时间分数阶扩散方程和Schr(o)dinger方程的新方法

§5.1引言

§5.2基本定义以及方程的解

§5.3应用

§5.4讨论

§5.5结论

参考文献

致谢

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