几种辅助方程与非线性发展方程的精确解

摘要

自英国科学家罗素于1834年发现孤立波以来，经过科学家们一百多年的不懈研究与探索，成功地在粒子物理、激光物理等很多领域中都发现了孤立波。目前，孤立波已经在数学，生物，化学等多个领域有着广泛的应用。在数学方面，主要表现为求解非线性发展方程的孤立波解的问题。伴随着私人计算机的广泛应用和符号计算软件，如Matlab、Maple和Mathmatic等的产生，学者们相继提出了很多种求解孤立波的机械化方法，如:tanh函数展开法，三角函数展开法、试探函数法、指数函数展开法、Jacobi椭圆函数展开法等。在这些方法以及通过对他们改进而提出的方法中，很多都用到了辅助方程，基于此，2009年，斯仁道尔吉等人提出了“辅助方程法”的概念，并且获得了一大批非线性发展方程的精确解，目前应用比较广泛的辅助方程法有Riccati方程法、三角函数型辅助方程法、双曲函数型辅助方程法等。
　　本文主要通过改进指数函数展开法、三角函数型辅助方程法和sinh-Gordon方程展开法，获得了非线性发展方程的精确解。
　　论文共分为五章，第一章为绪论，回顾了孤立波的发展历程，并简单介绍了孤立波的研究现状和辅助方程法的主要思想;第二章中对指数函数展开法的基本思想做了介绍并对其做了改进，利用改进的指数函数展开法对Burgers方程进行了求解，给出了Burgers方程的八组精确解;第三章中对sinh-Gordon方程展开法做了拓展，获得了KdV-mKdV方程的十二组Jacobi椭圆函数解;第四章中主要介绍了三角函数型辅助方程法的基本思想，通过引入Shen提出的变换以及利用吴消元法求解，获得了非线性Klein-Gordon方程的九组Jacobi椭圆函数解;第五章为展望与未来。

目录

摘要

1 引言

1．1 孤立波的起源与研究现状

1．2 论文的主要结论和内容

2 指数函数展开法的研究与改进

2．1 指数函数展开法简介

2．2 本文所做的改进和取得的成果

2．2．1 改进的指数函数展开法

2．2．2 辅助方程(2．8)的解的B?ckldund变换和解的非线性叠加公式

2．2．3 (1+1)维Burgers方程的精确解

3 sinh-Gordon方程展开法的扩展及其应用

3．1 sinh-Gordon方程展开法简介

3．2 改进的sinh-Gordon方程展开法

3．3 KdV-mKdV方程的精确解

4 利用三角函数型辅助方程法求解非线性发展方程

4．1 三角函数型辅助方程法简介

4．2 非线性Klein-Gordon方程的精确解

5 展望与未来

参考文献

致谢

作者简介

声明