平面区域有限元三角网格剖分算法研究

摘要

随着计算机技术的飞速发展，有限元法无论在理论还是应用上都取得了巨大的成功，已经成为工业工程设计与分析的重要工具，越来越多的庞大而且复杂的工程设计是用有限元法来模拟的。有限元方法的基本思想是“分与合”，分是为了剖分单元，进行单元分析，合则是为了集合单元，对整体结构进行综合分析，也就是以离散化模型取代实际结构的思想。 本文的研究内容属于有限元法的建模或前置处理领域，是有限单元法在工程实践中有效运用的必要组成部分，是CAD/CAE技术的重要分支。在工程分析前后处理软件的开发中，对于任意复杂边界的几何形体(平面或空间的板、壳结构)，用三角形元素逼近其边界是最有效及保持原结构力学特性最好的一种方法。二维任意平面域有限元三角剖分以其对边界良好逼近广为结构工程有限元、计算机图形学、科学计算可视化等多种领域所采用，因此开发和研究有效、可靠的三角剖分算法具有重要理论和现实意义。二维平面区域上的三角剖分技术作为曲面三角化问题的一种特例也有着实际的应用背景。对二维平面数据三角剖分的研究，其理论和算法已经比较成熟。但相对来说，目前的算法在适应性、执行效率等方面还有待进一步提高，这正是本文要研究的主要问题。 本文首先综合分析介绍了平面区域有限元三角网格剖分的定义、基本过程、优化准则，剖分算法的度量标准、分类以及几种常用的非结构化网格生成方法。然后重点研究了平面区域有限元三角网格剖分的AFT方法(Advancing FrontTechnique)的定义和算法实现，三角网格剖分过程中节点、有向线段、三角形单元和多边形之间的相互位置关系，分析了AFT方法的难点问题，提出了AFT方法的三种改进算法。又依据三角形网格剖分最小权原理，应用费尔马点的性质，提出了对基于几何多格子方法的精化算法的改进算法。最后简要地展望了网格生成算法中需要解决的几个方面的问题。 本文研究了AFT算法实施过程中存在的几个难点问题，在此基础上提出了三种改进算法。 1.给定区域边界的右螺旋AFT改进算法 本文对于如何决定当前前沿点的生成位置提出了一种针对区域的外边界的右螺旋AFT方法，主要思想体现在：首先对区域边界按等分原则进行离散，生成初始活跃前沿节点和前沿边，然后依次按逆时针方向即右螺旋的方向，选定活跃前沿边，按等边三角形原则生成节点和单元，从而提高了生成三角剖分网格的效率和质量。同理，对于区域的内边界可以采用按顺时针方向即左螺旋AFT方法。 2.给定边界的基于栅格的AFT改进算法 结合栅格法和AFT方法，提出一种新的三角网格剖分方法。通常的栅格法是在将要剖分的区域，用生成的矩形栅格罩住该区域，将在待剖分区域外部及和边界相交的网格删除，只保留在区域内部的网格，然后在边界处，对栅格进行剪裁以保证区域边界的完整性。栅格法能产生较好形状的内部单元，但边界单元的形状较差。而AFT方法能产生较好形状的边界单元，正好可以弥补栅格法的不足。另外，本方法提出了用三簇相互交成60°的平行等距扫描线生成栅格，使区域内部可以生成质量更佳的正三角形网格。 3.基于两相邻前沿边的AFT改进算法 本文在分析了两点前沿推进波前法、三点前沿推进波前法和两点三点前沿结合推进波前法算法的优缺点的基础上，提出了基于两相邻前沿边的AFT改进算法。主要思想是以与两相邻波前边相关联的有向线段大小及其夹角，决定网格单元和节点的生成方式，特别是对夹角小于30°和夹角大于180°时的处理方法。解决了只能剖分单连通区域、对于夹角过小或过大的情形未给予考虑的问题，使得三角网格剖分的效果更佳。 另外，还研究了基于几何多格子方法的三角网格精化算法，分析了其需要对非协调的三角形作多次协调迭代才能完成，精化剖分的效率较低，精化网格数量的增加基本上是以两倍的方式增加的两点不足，提出了基于最小权原理的一种新的改进精化算法，并证明了该改进算法提高了三角网格精化剖分的效率和剖分网格的数量及质量。

目录

文摘

英文文摘

声明

第1章 绪论

1.1课题背景

1.1.1有限元法

1.1.2有限元网格生成

1.2研究目的和意义

1.3网格生成算法国内外研究现状及发展趋势

1.3.1有限元网格生成

1.3.2有限元网格自动生成技术

1.4主要研究内容及结构

1.4.1本文主要贡献

1.4.2本文结构

1.5本章小结

第2章 平面区域有限元三角网格剖分算法

2.1引言

2.2平面区域有限元三角网格剖分定义

2.3平面区域有限元三角网格剖分的基本过程

2.4平面区域有限元三角网格剖分算法的度量标准

2.5平面区域有限元三角网格剖分算法概述

2.5.1平面区域的数据分类

2.5.2平面区域有限元三角网格剖分算法分类

2.5.3结构化网格生成方法

2.5.4非结构化网格生成方法

2.5.5混合结构化网格生成方法

2.6几种较常用的非结构化网格生成方法

2.6.1 Delaunay三角剖分方法

2.6.2 AFT推进波前法

2.6.3有限四叉树法

2.6.4栅格法

2.7三角网格剖分的优化准则

2.7.1 Thiessen区域准则

2.7.2最小内角最大准则

2.7.3空外接圆准则

2.7.4局部优化准则

2.7.5全局优化准则

2.7.6退化准则

2.8本章小结

第3章 平面区域有限元三角网格剖分的AFT改进算法

3.1引言

3.2平面区域有限元三角网格剖分的AFT方法

3.2.1平面区域AFT方法术语定义

3.2.2平面区域AFT方法的实现算法

3.3平面区域元素之间位置关系的判断

3.3.1点与点之间的位置关系

3.3.2点与线段之间的位置关系

3.3.3点的凹凸性的判别

3.3.4点与三角形之间的位置关系

3.3.5点与多边形之间的位置关系

3.3.6线段与线段之间的位置关系

3.4平面区域有限元三角网格剖分的AFT算法的难点

3.5给定区域边界的右螺旋AFT改进算法

3.5.1右螺旋算法

3.5.2算法分析

3.6给定边界的基于栅格的AFT改进算法

3.6.1用均匀三角形栅格覆盖区域

3.6.2只保留在有效区域内的网格

3.6.3边界单元的生成

3.6.4网格的局部拓扑优化和整体光顺处理

3.7基于两相邻前沿边的AFT改进算法

3.7.1算法思想

3.7.2求两相邻有向线段的夹角

3.7.3节点和单元的生成

3.7.4生成节点和单元需注意的几个问题

3.8三种改进算法与AFT方法的对比

3.9本章小结

第4章 对精化算法的基于最小权原理的改进算法

4.1引言

4.2基本概念

4.3基于几何多格子方法的精化算法

4.3.1几何多格子方法简介

4.3.2精化算法应满足的条件及两个引理

4.3.3三角网格精化算法

4.4基于最小权的改进的精化算法

4.4.1三角形网格剖分最小权原理

4.4.2费尔马点及其性质

4.4.3改进的精化算法

4.5本章小结

第5章 总结和展望

5.1本文总结

5.2研究展望

参考文献

致谢

攻读学位期间发表的主要学术论文目录