偏微分方程最优控制问题有限元方法的超收敛分析和后验误差估计

摘要

偏微分方程最优控制问题的研究是数学科学中非常鲜活且有生命力的领域，过去三十年来得到了很好的发展.作为数学尤其是应用数学的一个分支，它涵盖了许多领域比如材料设计，晶体增长，化学反应等过程中所用到的例如时间控制，回馈控制，流体方程控制，最优形状设计等重要的多种类型的控制问题。其中涉及到的方程类型既有线性的和椭圆的，又有非线性的和时变的。特别复杂和重要的是，随着科学和工程的发展，我们碰到是具有更重要应用和实际需要的许多线性或者非线性耦合方程组的最优控制问题。同时，由于实际应用中问题的复杂性，以及能用更有成效的数学理论来分析这些问题，可见形成更合理更适定的数学模型无疑是非常大的一个挑战.另一方面，随着计算机的发展和计算能力的提高，在有了问题的数学模型的描述之后，摆在我们面前的第二个任务就是如何采取更有效的数值方法去满足此类问题的计算要求，使得问题的物理过程得到直观的模拟，从而为实际的生产带来更大的帮助或者技术的提高.从而，为了检验问题模型正确与否和为进一步的研究提供基础我们需要在数值方法和相关数学逼近理论分析方面有更快的发展才能保持平衡。众所周知，在当前大的科学与工程计算过程中，有限元方法因其自身的优越性使得在众多数值方法中占有了不可替代的位置。本研究主要内容如下： 第一章第一部分中给出了一类双线性椭圆方程控制问题的超收敛分析.在作为参数估计中经常面临的这类双线性类型的控制问题，我们在分析超收敛之前先给出了先验误差估计，用来同后面的结论作为比较。离散过程中，状态和伴随状态用分片线性元去逼近，控制变量采用分片常数去逼近。第二部分中给出了此类问题的自适应有限元离散格式以及在多套网格下的计算方法.对状态和控制变量分别给出了其等价的后验误差估计。每部分的最后一节都给出了数值算例去验证误差分析的结果。第二章对此类稳态的Benard问题的最优控制作了研究，在本章中给出了此类问题有限元逼近的超收敛分析.因耦合的非线性问题后验误差估计的复杂性使得对此类控制问题自适应方法的研究产生了很大负面影响，目前为止对于控制受限的Benard问题的后验估计还未见有相应的分析，但是它又具有非常重要的应用价值，故此原因成为我们研究的动力源泉。本章的第二部分采用对偶技巧给出了此类问题的后验误差估计，采用其结果可以进行自适应计算.像很多控制问题一样，我们还给出了其接触集的误差估计，使得我们的估计子更加精确。石油工程领域研究的目的就是如何能开采出更多的油，即使世界范围内石油产量增加千分之一仅带来数百万美元的经济利益，他们也会千方百计地去开采，可见石油作为一种能源有着不可替代的作用。现今，从历史来看石油的开采已进入二次或者三次开采阶段，其中在二次采油过程中主要的手段就是注水采油，即通过注水井和采油井完成。采油井用于把油藏中的油输送到地表，注水井用来注入大量的水来维持油藏中的压力差已达到驱油的目的。油藏中油水混合物朝采油井方向运移直至发生水窜为止，在此过程中随着石油被开采出来，则需要不断地注入更多的水，直到采收率非常低的情况下，开采过程结束。由于地质结构的非均质性，开采过程中油水的运移不是一致的，甚至非常不规则，导致的后果就是提前发生水窜而致使油滞留在地下。经计算，在注水采油的过程中，最多有百分之三十五的石油被开采出来，造成了成本的巨大浪费。第三章首先给出了一类椭圆耦合抛物型方程组的控制受限问题的数学模型；其次，进一步证明了此类问题解的存在性，并且给出伴随状态方程的形式和解存在性的证明以及最优性条件的推导；最后还给出了其有限元逼近格式。

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声明

第一章双线性问题的最优控制

§1.1一类双线性最优控制问题的先验估计和超收敛分析

§1.1.1引言

§1.1.2有限元逼近和先验估计

§1.1.3超收敛分析

§1.1.4一些应用和u的超收敛结论

§1.1.5数值算例

§1.2一类双线性最优控制问题的自适应有限元算法的后验误差估计

§1.2.1引言

§1.2.2预备知识

§1.2.3有限元逼近

§1.2.4等价的后验误差估计子

§1.2.5 Neumann边界条件

§1.2.6数值算例

第二章稳态Bénard问题的最优控制

§2.1稳态Bénard最优控制问题有限元方法的超收敛分析

§2.1.1引言

§2.1.2预备知识

§2.1.3有限元逼近

§2.1.4超收敛结论和最优阶误差估计

§2.1.5引理的证明

§2.2稳态Bénard最优控制问题的自适应有限元算法的后验误差估计

§2.2.1引理介绍

§2.2.2上界的推导

§2.2.3下界的推导

第三章多孔介质中不混溶两相驱动耦合方程组的最优控制问题

§3.1引言

§3.2预备知识

§3.3最优控制问题解的存在性

§3.4最优性条件

§3.5有限元逼近

§3.6共轭问题解的存在性

参考文献

致谢

攻读博士学位期间完成论文情况

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