表自然数为一个素数和六个素数立方之和的小区间问题

摘要

Waring-Goldbach问题旨在研究将满足必要同余条件的正整数N表为素数方幂之和的可能性.著名的哥德巴赫猜想和Vinogradov的三素数定理就是此类问题在线性情况下的个例.解决Waring-Goldbach问题的一般性方法是Hardy和Littlewood的圆法结合Vinogradov素变数三角和的估计.
　　 小区间上的Waring-Goldbach问题也激发了许多数学工作者的研究热情,在这一方面得到了许多有价值的结果.其中,以几乎相等的素变量Goldbach-Vinogradov定理最为著名.
　　 Wanng-Goldbach问题主要分为线性和非线性两种情况.不同于线性情形,用圆法来研究非线性情形时需要克服更大的困难.这是因为,我们在应用圆法处理非线性的问题时需要处理扩大的主区间,而此时Siegel-Waltisz定理不再成立,从而导致主区间上的积分无法有效地计算.为了克服这个困难,刘建亚教授和展涛教授[12]首先在广义黎曼猜想下研究了小区间上二次非线性情形下的Waring-Goldbach问题,即在广义黎曼猜想的条件下证明了:每个模24同余5的大整数N可以表示为5个几乎相等的素数的平方之和,即{N=P21+…+P23,(1)|pi-√N/5|≤U,I=1,…,5有解,其中U=N1/2-δ+ε,δ=1/20.Bauer在文章[1]中使用Montgomery和Vaughan[18]扩张主区间的方法无条件地证明了(1)式对于U=N1/2-δ成立,这里δ是一个小正数,其具体值依赖于Deuring-Heilbronn现象的常数值,而且难以确定.
　　 不使用广义的黎曼猜想或者Deuring-Heilbronn现象处理增大了的主区间就成为了研究非线性的Waring-Goldbach问题要解决的一个主要问题.1998年,刘和展[13]找到了处理扩大了的主区间的新方法,这种方法的引入使得可能存在的Siegel零点对定理不再有影响.所以,Deuring-Heilbronn现象可以被避免了.用这种方法,他们无条件地证明了(1)式对U=N1/2-1/50+ε成立.2003年,刘建亚教授[9]在主区间的计算中引入迭代法,这个方法可以更好地处理主区间上的积分问题,现在已经被成功地运用到许多素数的加性问题中,具有十分重要的意义.目前上述问题指数值的最好结果为刘建亚教授、吕广世教授和展涛教授[11]给出的δ=1/20.
　　 在本文中,我们将证明定理1.对于每个充分大的整数N≡1(mod2),方程{N=P+P31+…+P36,|P-N/7|≤3√(N/7)2y,|Pi-3√N/7|≤y,I=1,…,6,对于y=N17/54+ε有解.
　　 此定理的证明是应用圆法得到的.我们将[1/Q,1+1/Q]表示成主区间和其余区间的并.然后证明主区间上的积分产生主项,而余区间上的积分只对余项有贡献.
　　 我们首先引入几个参数P=N7/27,Q=N10/27,P*=N1/15,Q*=N8/9+ε.令主区间为M:={a=a/q+λ|1≤a≤q≤P*,(a,q)=1,|λ|≤1/qQ*}.余区间为M在[1/Q,1+1/Q]中的补区间,并将其分解为C(M)R的并,其中C(M):={a=a/q+λ|P＜q≤Q,1≤a≤q,(a,q)=1,|λ|≤1/qQ}∩[1/Q,1+1/Q],R为M和C(M)在[1/Q,1+1/Q]中的补区间.所以[1/Q,1+1/Q]=M∪C(M)∪R.因此,定理1的证明可转化为证明r(N)=∫1+1/Q T(a)S6(a)e(-Na)da=∫M+∫C(M)+∫R＞01/Q成立.这里S(a)和T(a)为相应的素变量指数和,其定义详见第一章.在处理主区间M时,我们将应用[9]中的迭代法及混合均值估计Σr～Rd/rΣXmodr*∫2TT|F(1/2+it,X)|dt《{R2/dT+R/d1/2T1/2X3/10+X1/2}logcX来得出相应的渐近公式,即命题2.设主区间M如上定义.则对任意的A＞0,∫MT(a)S6(a)e(-Na)da=1/36P0б(N)+O(y6L-A),其中P0:=∑m+m1+…+m6=N N3/1≤m1＜N32,M1＜m＜M2(m1…m6)-2/3(x)y6,.奇异级数б(N)=Σ∞q=1B(N,q)/φ7(q),而且对满足N≡1(mod2)的正整数N,1《б(N)《1.
　　 在处理余区间C(M)和R时,[11]中关于小区间上的素变数指数和的新估计∑x-y≤p≤x+y(log p)e(pka)《(qx)ε{q1/2yΞ1/2/x1/2+q1/2x1/2Ξ1/6+y1/2x3/10+x4/5/Ξ1/6+x/q1/2Ξ1/2}起到了很关键的作用.我们将利用上述估计证明命题3.设C(M)和R如上定义.则我们有sup a∈C(M)∪R|S(a)|《y3/2N-1/6-ε/2.

目录

文摘

英文文摘

论文说明:符号说明

第一章 主要结果

第二章 基本引理

第三章 定理的证明

第四章 引理的证明

参考文献

致谢

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