Burgers方程的一类高阶交替分段显隐差分方法

摘要

Burgers方程具有Navier-Stokes方程的一些性质,可以作为流体一类流动现蒙的数学模型,对该方程的数值解法具有求解方程本身以外的学术价值,且其并行数值解法随着并行计算的发展备受关注。近几十年来,Burgers方程的有限差分方法和有限元方法的研究虽然有了很快的发展,但是构造有较高精度并适合在并行机上使用的数值方法仍是人们关注的课题。
　　 本文对于Burgers方程给出了一类高阶交替分段差分方法。在数值算法过程中,首先给出Burgers方程高阶显格式和隐格式,在显隐格式的基础上构造了四种高阶非对称格式。当Burgers方程具有周期性边界条件时,首先利用这四种高阶非对称格式构造了一种交替分组四点格式,并得到相应的矩阵形式。然后基于高阶显隐格式和四种非对称格式,在奇数时间层上用“显式段,隐式段,…,显式段,隐式段”进行构造,而在偶数时间层上的分段情况为:“隐式段,显式段,…,隐式段,显式段”,从而得到Burgers方程的一种高阶交替分段显隐差分格式,及其相应的矩阵形式。
　　 在Burgers方程的离散化过程中,需要对方程中的非线性项u进行线性化处理。我们根据特征线方法由第n层上节点的值对u进行近似。
　　 当Burgers方程具有非周期的边界条件时,在周期边界条件交替分段显隐差分格式的基础上,采用相同的分段方式。特别地,对Burgers方程离散化解空间的左边界内点和右边界内点分别采用非对称的显隐差分格式,其余内点的差分格式不变,从而得到其相应的矩阵形式。
　　 文章对交替分段显隐格式给出了线性稳定性分析,利用Kellogg引理证明了该格式的线性绝对稳定性。
　　 文章的最后给出了Burgers方程具体的数值算例。对非周期边界条件的情况,给出用不同方法计算的数值解。通过计算结果,可以看到本文的方法不仅具有并行本性,而且对于空间变量有接近四阶的收敛速度。

目录

文摘

英文文摘

第一章 预备知识

§1.1 引言

§1.2 基本差分格式

第二章 交替分段并行差分方法

§2.1 显隐及非对称差分格式

§2.2 交替分组四点格式

§2.3 交替分段显隐格式

§2.4 非周期边界条件的交替分段显隐格式

§2.5 线性稳定性分析

第三章 数值实验

参考文献

致谢

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