关于亚纯函数分担公共值集的一些结果

摘要

值分布论是由Rolf Nevanlinna在二十世纪二十年代初创立的，通常为了纪念他，我们常称之为Nevanlinna理论。Nevanlinna理论可以看做是上个世纪研究亚纯函数性质所取得的最好的成果。这个理论包括了两个基本定理，我们把它们称之为第一基本定理和第二基本定理，这两个定理显著的提高了经典函数理论的研究，并且在随后，推广和扩展了Picard第一定理，由此开创了亚纯函数研究的先河。更为重要的是，Nevanlinna理论及其扩展在一些领域里有着许多的应用，如位势理论，复微分方程，复差分方程，正规族，多复变等等。
　　 Nevanlinna理论是研究亚纯函数唯一性很重要的工具.亚纯函数唯一性理论主要研究在何种条件下本质上只存在一个函数满足这些条件。我们都知道多项式除了一个非常数因子由它的零点唯一确定，但是这种情况对于超越整函数就不成立了。因此，如何唯一确定一个亚纯函数是非常有趣和复杂的。在这个研究领域中，由R.Nevanlinna建立的值分布理论自然变成研究这一问题的主要工具。早期，Nevanlinna自己证明任意非常数亚纯函数可以由五个值唯一确定。也就是说，如果两个非常数亚纯函数f和g在相同的五个点取得同样的值，那么f≡g。当然，当添加更多的条件时，分担的公共值的数量五是可以减少的。仪洪勋教授在他的著作[45]中介绍了各种在不同情况下研究亚纯函数唯一性理论的结果和方法，其中一个很重要的方面就是亚纯函数分担公共值集的唯一性理论。近些年来，这方面的一个重大进展是仪洪勋教授做出的工作，他解决了由Gross提出的一个重要问题。
　　 本文主要包括作者得到的关于对H.Fujimoto的一个结果的改进，关于Yang-Hua的一个亚纯函数唯一性结果的改进，Cm上亚纯函数的唯一性像集和亚纯函数IM分担10个元素的公共值集的唯一性。本论文的结构安排如下： 第一章,我们简单介绍了Nevanlinna理论和亚纯函数唯一性理论的发展历程。 第二章,我们研究了这样一个问题：设P(ω)是一个次数为q,无重零点的,唯一的多项式,它的导数有k个互不相同的零点dl,他们的重数分别是ql,l=1,2,…,k,设S：={α1,α2,…,αq}是P(ω)的零点集合。假设P(dls)≠P(dlt)(1≤lslt≤k),我们对集合S给出充分的条件,一个弱化的值分布条件,即满足条件∑j/q=1 v(f,m0)/(aj))三∑j/q=1 v(g,m0)/(aj))(m0∈Z+∪{∞}),那么对于C上任意两个非常数亚纯函数或整函数f和9,有f≡g。它改进了H. Fujimoto的一个结果。另外,我们还讨论了其他相关问题。 在第三章,我们研究了形如fnf'的亚纯函数(或整函数)的唯一性,我们主要得到下面结果：设f和g是两个非常数亚纯函数(或整函数),设a∈C\{0}是一个非零有限的常数。那么,在条件E3)(a,fnf')=E3)(a,gng')下,我们可以得到,对于某些n+1次单位根d,有f=dg；或者,对于三个非零常数c,c1和c2,有(c1c2)n+1c2=—α2.f=c1ecz和g=c2e-cz,其中亚纯函数时n≥11(整函数时n≥6)。它改进了C.C. Yang和X.H. Hua的一个结果。 在第四章,针对F. Gross提出的一个关于复平面C上整函数公共值集的问题,探讨了亚纯函数在Cm上的唯一性,得到一个结果。 在最后的第五章,我们研究了：对于复平面C上任意两个满足条件θ(∞,fg)6/7的非常数亚纯函数f与9,必然存在10个元素的集合S(?)C,使得E(S,f)=E(S,g),那么可以导出f三g。