涉及差分算子、移位算子的亚纯函数的唯一性

摘要

以Nevalinna理论为基础的函数值分布理论的研究是复分析领域的一个重要研究方向.本文主要研究了函数差分算子，移位算子及差分多项式分担公共值的亚纯函数的唯一性问题，改进推广了先前的一些结论，得到以下主要结果:
　　定理1设f(z)，g(z)是有穷级超越亚纯函数，n(≥14)，k(≥3)是正整数，c是非零复常数.如果Ek(1，fnf(z+c))=Ek(1，gng(z+c))，则有:f(z)≡t1g(z)或者f(z)g(z)≡t2，其中，t1，t2是常数，满足tn+11=1，tn+12=1.
　　对于整函数，把上述定理中的移位算子改为差分算子，有下述结论成立.
　　定理2设f(z)，g(z)是有穷级超越整函数，n(≥17)是正整数，c为非零复常数.如果Ek(1，fn△cf)=Ek(1，gn△cg)，则有:f(z)≡t1g(z)或者f(z)g(z)≡t2，其中，t1，t2是常数，满足tn+11=1，tn+12=1.
　　定理3设f(z)，g(z)为非常数亚纯函数且ρ(f)＜∞，ρ（g）＜∞，c为非零复常数.f(z)=∞(=)g(z)=∞，f(z+c)=1(=)g(z+c)=1，如果N2（r,1/f）+N2(r，1/g)+2(N)(r，f)＜(λ+o(1))T(r)，其中λ＜1，T(r)=max{T(r，f),T(r，g)}.则有f(z)≡g(z)或者f(z)g(z)≡1.
　　接下来对于函数移位算子的乘积有下述结果.
　　定理4假设f(z)，g(z)是有穷级非常数整函数，aj，bj，cj(j=1，2,…，s)是复常数，F(z)=Πsj=1ajf(z+cj)，G(z)=Πsj=1bjg(z+cj).如果f(z)=0(=)g(z)=0，F(z)=1(=)G(z)=1，且δ(0，f)＞2/3，则F(z)≡G(z)或者F(z)G(z)≡1.
　　定理5f(z)，g(z)是有穷级超越整函数.α(z)为f(z)，g(z)的小函数.cj(j=1，2,…，s)为互异复常数，m，n，s，μj(j=1，2,…，s）为非负整数，σ=∑sj=1μj.如果(fn(fm-1)Πsj=1f(z+cj)μj)(k)=α(z)(=)(gn(gm-1)Πsj=1g(z+cj）μj）（k）=α(z)，且n≥5k+4m+4σ+8，则f(z)=tg(z)，其中tm=1.
　　上面的结果是对整函数的讨论.对于亚纯函数，我们有下述结论:
　　定理6设f(z)，g(z)是超越亚纯函数满足ρ(f)＜∞，ρ（g）＜∞.∞为f(z)，g(z)的IM公共值.α(z)(≠)0为整函数，满足ρ(α)＜ρ(f).m，n，s，μj(j=1，2,…，s)为非负整数，σ=∑sj=1μj·cj(j=1，2,…，s）为非零复常数.令F(z)=fn（fm-1）Πsj=1f（z+cj）μj，G(z)=gn(gm-1)Πsj=1g(z+cj)μj.0，∞为F（z）-α(z)，G(z)-α(z)的CM公共值.如果n≥m+2s+3σ+7则有f(z)=tg(z)，其中tm=1.