表整数为素数平方和和一个素数的k次方的华林问题的例外集

摘要

Waring-Goldbach问题作为数论中的经典问题吸引了很多优秀的学者去研究.自从Hardy和Littlewood引入圆法之后，本领域迎来了快速发展.在1938年，Hua给出了一系列Waring-Goldbach问题的例外集的上界，此后，Schwarz，Leung，Liu等人都为改进上界估计做出了杰出的贡献.本文，我们改进了一些整数表为素数方幂和问题的例外集的上界估计，主要考虑三类Waring-Goldbach问题的例外集.例如，我们证明了对于整数k≥3，至多存在O（N1-1/k2k-1+ε）例外，满足必要同余条件的正整数n≤N可以表示成两个素数的平方和和一个素数的k次方之和;对于整数k≥4，至多存在O（N1/2-1/k2k-1+ε）例外，满足必要同余条件的正整数n≤N可以表示成3个素数的平方和和一个素数的k次方之和;对于整数k≥3，至多存在O(N1/2-1/k2k-1+ε)例外，满足必要同余条件的正整数n≤N可以表示成一个素数，一个素数的平方和一个素数的k次方的和.这些结果改进了以前已知的此类问题的结果.
　　简言之，假设Aj(j=3，4)和A分别为对应于上述三类问题的满足特定同余条件的正整数n的集合，对于整数k≥2和j=3，4，我们定义Ej(N)=|εj(N)|，E(N)=|ε(N)|且将εj(N)和ε(N)定义为εj(N)={n∈Aj:n≤N，n≠p21+…+p2j-1+pkj，对任意的素数pi，i=1，…，j.}以及ε(N)={n∈A:n≤N，n≠p1+p22+pk3，对任意的素数pi, i=1，2，3.}.我们的结论是:
　　定理1.假设k∈N且k≥3，E3(N)如上定义.则对于充分大的正整数N，有E3(N)(＜＜)N1-1/k2k-1+ε.
　　定理2.假设k∈N，E4(N）如上定义，则对于充分大的正整数N，我们有E4(N)(＜＜){N7/16+ε，若k=3，N1/2-1/k2k-1+ε，若k≥4}.
　　定理3.假设整数k≥3，E(N)如前定义.则对充分大的正整数N，有E(N)(＜＜)N1/2-1/k2k-1+ε.
　　此前，这三类问题例外集的上界估计的最好结果是Li[18]中得到的，对应的结果为:E3(N)(＜＜)N1-1/3k2k-2+ε，E4(N)(＜＜){N19/42+ε，若k=3，N1/2-1/3k2k-2+ε，若k≥4.以及E(N)(＜＜){N19/42+ε，若k=3，N1/2-1/3k2k-2+ε，若k≥4}.
　　本文主要使用堆垒素数论中的圆法来证明我们的结论，定理的证明用到了Wooley处理余区间的方法以及Zhao[27]中得到的相关的引理来扩展指数和估计，本文分为5个章节，第一章简单介绍了本文的研究背景以及主要结果;第二章介绍了一些预备引理;第三章介绍了证明的主要思路并且给出了定理2的证明;第四章主要证明了命题3.1，它是得到定理2的关键;最后一章我们使用类似的方法证明了定理1和定理3.

目录

声明

摘要

符号说明

第一章 背景与结果简介

第二章 预备引理

第三章 定理的证明思路与定理2的证明

第四章 命题3．1的证明

第五章 定理1与定理3的证明

参考文献

致谢