一类新型的SturM-Liouville问题——来自地球流体力学

摘要

Sturm-Liouville问题起源于十九世纪初，是傅立叶为了解决固体的热传导问题而建立的数学模型。它的理论应用十分广泛，已涉足于数学、物理和地球气象学等现代科学领域，逐步成为数学、物理学和量子力学等学科的一个非常重要的理论研究分支，成为很多专家学者的关注和研究对象。
　　Sturm-Liouville问题对十九世纪常微分方程边值问题的发展具有非常重要的意义，值得我们进行细致深入且全面系统的钻研和探讨。它的理论和应用价值主要在以下几个方面体现出来:第一，人们在应用中发现许多实际问题的研究可归结为对Sturm-Liouville问题的特征值和特征函数的研究，许多实际问题的解决可归结为对Sturm-Liouville问题的特征值与特征函数性质的解决。因此，它首先提出了特征值和特征函数这个概念，是首个有关于特征值和特征函数的理论体系;第二，它是一个非常好的数学模型，可以很好的解决一类典型的数学物理问题，不论是热传导问题、弦振动问题还是波动方程，都可以很好地应用这个理论框架;第三，它为正交函数理论的发展奠定了良好的基础;第四:从某种程度上来说预示了谱、自伴性、希尔伯特空间等等理论，为算子谱理论的研究奠定了基础，也是泛函分析中非常重要的一部分。
　　对Sturm-Liouville问题的研究已有一百多年的历史，十九世纪初Liouvillc和Sturm在研究弦振动方程的解时首先提出了谱理论。此后Brikhoff，Hilbert，Neumann，Steklov等许多数学家，对谱理论进行了深入的研究并加以推广[1-4]。一百多年来，Sturm-Liouville问题，特别是正则的S-L问题的研究在理论和方法上都已经比较完备[5-8]，但是在实际运用中我们逐渐发现，正则条件往往并不能被满足。因此，近年来，研究微分方程的解或者解的各阶导数在区间内部不连续的问题引起了越来越多专家和学者的研究兴趣[9-11]。这样一些问题来源于许多物理问题，例如薄的叠层板的热传导问题[16]。
　　由于奇异问题的难度和它在物理应用中的重要性，至今仍有大量的问题有待我们解决。相比正则的S-L问题的研究，奇异问题的理论研究还不够完善和系统，尤其是我们所要讨论的来自地球流体力学的这类新型的Sturm-Liouville问题，研究的方法和工具还在不断探索和总结发展中。这类问题和正则问题不一样，和脉冲问题也不一样，未包含在现有谱理论中。我的导师綦建刚老师在文献[12]中讨论了初值问题的相关性质，本文将对[12]中的初值问题的性质加以整合和推广，进而得到边值问题的性质，并研究特征值和特征函数的基本理论，这些结论将补充发展现有谱理论，使不连续Sturm-Liouville问题的理论更加完善。
　　本文主要研究在地球流体力学中发现的一类新型的Sturm-Liouville问题的相关性质。我们先得到初值问题的一系列结论，包括解的存在唯一性，连续性，解析性，以及对参数的可微性和连续依赖性等等，继而推广到边值问题，为研究特征值理论打好基础。进而得到我们要研究的新型Sturm-Liouville问题的特征值与特征函数的性质，包括Green（格林）函数和特征函数完备性，特征值是实、单、可列多个的，特征函数的零点个数和特征值的渐近估计式等结论。

目录

声明

摘要

第1章 绪论

1．1 课题的研究背景和意义

1．2 实际来源

1．3 本文结构安排

第2章 预备知识

2．1 引言

2．3 不连续的(含有间断点的)奇异Sturm-Liouville问题

2．4 本文工作的创新之处

第3章 新型Sturm-Liouville的初值问题和边值问题解的性质

3．1 引言

3．2 初值问题解的唯一性、连续性和解析性

3．3 边值问题解的唯一性、连续性和解析性

第4章 新型Sturm-Liouville问题特征值与特征函数的性质

4．1 引言

4．2 Green(格林)函数和特征函数完备性

4．3 特征值的相关性质

4．3．1 φ(1/2)≠0时的特征值理论

4．3．2 φ(1/2)=0时的特征值理论

第5章 总结与展望

5．1 本文总结

5．2 后续工作展望

参考文献

致谢