幂格与模糊幂格的性质

摘要

格与群、环、域这些代数系统的不同之处在于格中存在序关系，即格是一个特殊的偏序集.由于它在计算机理论、保密学、开关理论和逻辑设计以及许多科学工程领域中有着重要的应用，逐渐成为现代数学的重要分支之一.
　　幂格是继分配格、模格、完备格之后的又一种重要的格.在格的非空幂集里定义新运算使之成为格，这就是幂格.这种把数学结构由论域提升至幂集来研究，从而产生新的结构，就是数学中的代数结构的提升，也就是说幂格是代数结构提升下的产物，是格与幂集相结合的成功典范.模糊幂格作为幂格的子类，既保持了幂格的某些特性又有所不同.幂格、模糊幂格的研究之所以重要，一方面，幂格、模糊幂格理论为结构逻辑提供了代数语义；另一方面，它们推广了具有广泛应用价值的代数结构，所以在计算机理论、信息处理、人工智能中有着广泛的应用.本文是在前人研究的基础上，运用偏序集和幂集相结合的方法，对幂格与模糊幂格的代数性质、理想、同态和同余关系通过由浅入深的不断探索和推理，推出具有重大意义的研究结论.
　　文章主要分为三部分：
　　第一部分：预备知识.
　　介绍了幂格、模糊幂格的历史背景、研究现状以及创新点；给出了幂格、模糊幂格的基本概念、引理及结果.其中包括：偏序集、格、格理想、格同态；幂格、幂格的同态、模糊幂格、模糊幂集的?截集等定义和相关结论.
　　第二部分：幂格的性质.
　　把代数格和偏序格的等价性推广至幂格上，证明了代数幂格和偏序幂格等价；介绍了幂集成为幂格的充要条件，并举例说明二者的不同之处；根据幂格的交是幂格，对幂格的并是否是幂格进行了讨论；基于分配格上的幂格一定是分配格的思想，对链上的幂格是否是链，进行了讨论；给出了幂格的理想和素理想的形式以及作为幂格理想的充分必要条件，引入由分配格理想诱导的幂格；介绍了幂格的交次、并次同态以及幂格的同余关系所具有的性质.
　　第三部分：模糊幂格的性质.
　　将幂格的性质推广到模糊幂格上，介绍了模糊幂集成为模糊幂格的条件；给出了模糊幂格和模糊子格的关系以及模糊子格的构造形式；给出了模糊幂格的理想和素理想的形式以及格的素理想和模糊幂格的素理想的关系；证明了由格的同态可以确定模糊幂格的同余关系.