基于对称群方法研究几类非线性偏微分方程（组）的不变解

摘要

随着近代物理和数学的发展,物理学中的非线性现象、问题受到越来越多人的关注.许多非线性问题的研究可以被归结为对非线性偏微分方程(以下简称PDE)的研究.求解非线性PDE是十分必要的,方法也有很多. Lie对称方法是一个较普适性而行之有效的方法,是研究非线性PDE不变解的基础.
　　本文基于符号计算系统 MATHEMATICA,研究了一类非线性偏微分方程组(PDEs)和两类非线性PDE的经典Lie对称、条件对称、近似对称、对称分类、一维最优系统、相似约化及不变解的构造.
　　第一章简述了本文的研究背景及意义,并简单介绍了经典Lie对称、条件对称、近似Lie对称的方法.
　　第二章利用经典Lie对称的方法研究了一类含两个任意函数的非线PDEs,获得对称分类.对其中的两种情况做进一步分析,构造一维最优系统,并利用最优系统中的元素对PDEs相似约化,求不变解.另外,利用条件对称的方法研究了PDEs的一种特殊情况,并利用条件对称对该方程组进行相似约化、求不变解.
　　第三章研究了一类非线性渗流方程vt=k(vx)vxx.当k(vx)=ex和k(vx)=(vx)n时,分别对这两种情况的PDE进行研究.构造一维最优系统,对PDE进行相似约化,进而求不变解.此外,还分别利用条件对称研究了这两种情况的PDE,并利用条件对称对方程进行相似约化,进而求不变解.
　　第四章利用Baikov, Gazizov和Ibragimov提出的近似对称方法,研究了扰动Boussinesq方程.构造了一维最优系统,分析方程的近似不变解,并给出了一些近似不变量.
　　第五章对本文的研究内容进行总结,展望需要进一步研究的内容.

目录

第一章 绪 论

1.2 方法简述及预备知识

1.2.1 经典Lie对称

1.2.2 条件对称

1.2.3 近似对称

1.3 本文的主要工作

第二章 一类含任意函数PDEs的Lie对称分类、一维最优系统、条件对称及不变解

2.1 方程组的Lie对称及对称分类

2.2 方程组的一维最优系统及不变解

2.3 f (u)=u, g (v )=v 时, 方程组的条件对称及不变解

第三章 非线性渗流方程的一维最优系统、条件对称及不变解

3.1.1 方程的一维最优系统及不变解

3.1.2 方程的条件对称及条件对称下的不变解

3.2 k(vx)=(vx)n时, 方程的一维最优系统、条件对称及不变解

3.2.1 方程的一维最优系统及不变解

3.2.2 方程的条件对称及条件对称下的不变解

第四章 扰动Boussinesq方程的近似对称、一维最优系统及近似不变解

4.1 扰动Boussinesq方程的近似对称

4.2 扰动Boussinesq方程的一维最优系统

4.3 扰动Boussinesq方程的近似不变量与近似不变解

第五章 总结与展望

参考文献

致谢

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