Lie对称在若干非线性偏微分方程组边值问题中的应用

摘要

自然科学和工程技术中的很多问题本质上就是微分方程,而偏微分方程(组)(简称为PDEs)是微分方程研究的主体,特别是非线性PDEs（简称为NLPDEs）,所以求解NLPDEs的研究具有重要的意义.由于非线性方程本身的比较复杂,所以求解具有一定的难度.为了求解PDEs人们提出了众多求解方法,但还没有统一而系统的方法包揽各种解的求解,并且这些方法具有各自的适用范围.从而研究求解方法仍是数学、物理、力学学科中的基础性问题,特别是现有方法的改进、总结归纳、加深认识、接纳优点、摒弃缺陷,尤为必要,是发现新方法的前提.众多方法中Lie对称是通用性最好的方法,它以众多传统方法为其特例.目前 PDEs对称理论和方法在数学、物理和力学等学科中得到了广泛的应用.本文将基于微分特征列集算法,对Lie对称方法和对称分类在NLPDEs边值问题中的应用进行研究.具体研究内容有：
　　第一章,着重综述了对称方法的发展现状和在PDEs的研究中的重要性,并介绍了微分特征列集算法、龙格-库塔法和同伦摄动法.
　　第二章,通过有效结合对称方法和数值计算方法(即龙格-库塔法),求解了一个流体力学中的NLPDEs边值问题的数值解.
　　第三章,研究对称分类在 NLPDEs边值问题中的应用,具体计算了2个流体力学中的NLPDEs边值问题的对称分类,并对其进行了求解.步骤如下：(1)基于微分特征列集算法,分析确定了含参数的NLPDEs边值问题的对称分类,并根据方程参数的不同取值,分类确定方程的主对称和扩充对称.(2)利用确定的扩充对称将所研究的NLPDEs边值问题约化为ODEs初值问题.(3)借助Mathmatica符号系统,求解了ODEs初值问题的数值解.
　　第四章,通过将对称方法和近似解析解方法(即同伦摄动法)有效的结合,求解了2个NLPDEs边值问题.先利用对称方法把NLPDEs边值问题约化为ODEs初值问题,再利用同伦摄动法对其进行求解,得到了近似解.最后利用数值方法得到了数值解,并与近似解进行比较,验证了近似解收敛于数值解.
　　最后总结文章所研究的内容,并对下一步的相关研究进行了展望.

目录

声明

第一章 绪 论

1.3 微分特征列集算法

1.4 龙格-库塔方法

1.5 同伦摄动方法

1.6 研究的主要内容

第二章 利用Lie对称求解边值问题

2.1 偏微分方程组的对称理论

2.2 一个非线性偏微分方程组边值问题的对称约化及其数值解

2.3 本章总结

第三章 对称分类在非线性偏微分方程组边值问题中的应用

3.2 第一个非线性PDEs 边值问题的对称分类和数值解

3.3 第二个非线性PDEs边值问题的对称分类和数值解

3.4 本章结论

第四章 非线性边值问题的对称约化和近似解

4.1 Burgers方程的对称约化及近似解

4.2 流体力学中的非线性边值问题

4.3 本章结论

第五章 总结与展望

参考文献

致谢

附录

在读期间发表的学术论文与取得的其他研究成果