若干非线性偏微分方程（组）的Lie对称、不变解及守恒律研究

摘要

通过对称来约化偏微分方程(组)是求解偏微分方程(组)精确解的重要方法之一,而在非线性学科中守恒律对偏微分方程(组)解的线性化、可积性以及数值计算等方面的研究中扮演着重要的角色,有助于得到方程(组)的解析解和数值解.
　　本文借助符号计算系统Mathematic研究分析了若干非线性偏微分方程(组)的Lie对称、对称分类和最优系统,得到了偏微分方程(组)新的不变解,同时构造了偏微分方程(组)的守恒律,获得了偏微分方程(组)新的守恒律.
　　第一章简要介绍了Lie对称法,一维最优系统,对称分类及守恒律的研究背景和发展状况及其基本知识,以及构造偏微分方程(组)守恒律的方法,并规定了文中使用的相关符号.
　　第二章研究了修正cKdV方程组的Lie对称,一维最优系统及守恒律.首先利用Lie对称理论得到了修正cKdV方程组允许的对称,并通过伴随方法构建了该方程组的一维最优系统,进一步,计算了该方程组的不变解.且通过Lie?B?cklund方法研究了该方程组的守恒律,并得到了该方程组新的守恒律.
　　第三章,对Hirota-Satsuma方程组的Lie对称,一维最优系统及守恒律进行了研究.利用Lie对称理论得到了Hirota-Satsuma方程组允许的对称,并得到了该方程组的一维最优系统通过伴随方法,进一步,计算了该方程组的不变解.且研究了该方程组的守恒律通过Lie?B?cklund方法,并得到了该方程组新的守恒律.
　　第四章研究了广义Kaup-Kupershmidt方程的对称分类,一维最优系统及守恒律.对该方程允许的对称进行分类,在其中一种对称情形下研究了它的一维最优系统,并计算了该方程的不变解.且研究了该方程的守恒律通过Lie?B?cklund方法,并得到了该方程新的守恒律.
　　第五章,对全文工作进行讨论和总结,并对下一步要进行的研究工作做了展望.

目录

封面

声明

中文摘要

英文摘要

目录

第 一 章 绪 论

1.1 Lie变换群和无穷小变换

1.2 PDE守恒律和守恒律的构造方法

1 .3 本 文 的 主 要 工 作

第二章修正cKdV方程组的一维最优系统、不变解及守恒律

2 .1 修 正 cKdV方 程 组 的 一 维 最 优 系 统

2 .2 修 正 cKdV方 程 组 的 不 变 解

2 .3 修 正 cKdV方 程 组 的 守 恒 律

第三章Hirota-Satsuma方程组的一维最优系统、不变解及守恒律

3.1 Hirota-Satsuma方程组的一维最优系统

3.2 Hirota-Satsuma方程组的不变解

3.3 Hirota-Satsuma方程组的守恒律

第四章广义Kaup-Kupershmidt方程的对称分类、一维最优系统、不变解及守恒律

4 .1 广 义 Kaup-Kupershmidt方 程 的 对 称 分 类

4 .2 广 义 Kaup-Kupershmidt方 程 的 一 维 最 优 系 统

4 .3 广 义 Kaup-Kupershm idt方 程 的 不 变 解

4 .4 广 义 Kaup-Kupershm idt方 程 的 守 恒 律

第五章总结与展望

参考文献

致谢

在读期间取得的科研成果