基于H-张量的张量正定性判定算法研究

摘要

近年来，张量理论广泛应用于许多科学领域，并且随着它的不断发展衍生出很多新的问题.一个偶阶齐次多项式的正定性问题广泛应用于医学图像处理、非线性自动系统的稳定性研究、多元网络实现性理论、Lyapunov多元过滤器的稳定性的试验、运用Bendixon理论的周期振动存在性试验、反馈输出的稳定性问题等等，所以对于如何验证一个偶阶齐次多项式是否正定显得尤为重要.基于齐次多项式和对称张量之间的关系，张量的正定性受到重视.张量的正定性可以通过其特征值进行判定，但该方法计算量太大，后来有学者在对实的超对称张量正定性标准的研究中提出并证实了判定H-张量的含参算法.基于H-张量和正定张量之间的关系，H-张量受到人们的重视.H-张量是一种特殊的结构张量，它是H-矩阵和M-矩阵的推广，在数值代数和张量分析中具有重要的理论价值和实际意义.
　　本文在相关研究的基础上，对强H-张量的判定算法进行了深入研究，文章基于强H-张量广义严格对角占优的特性以及强H-张量与张量正定性的关系提出了几种判定强H-张量的不含参数的迭代算法.这些算法可以有效判定张量的正定性，从而有效判定偶阶齐次多项式的正定性.与含参数的迭代算法相比,新的迭代算法迭代的步数明显减少，克服了因参数选取的不恰当导致大量迭代的现象.文中不仅通过理论证明算法可在有限步内终止并产生有效的结果，还给出数值算例验证了算法的有效性.

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第一章 引言

第二章 强?-张量的相关定义及性质

第三章 判定强?-张量的迭代算法的研究

3.1 判定强?-张量的迭代算法

3.2 数值算例

3.3 本章小结

第四章 判定?-张量正定性的研究

4.1.判定强?-张量的迭代算法

4.2 数值算例

4.3 本章小结

第五章 基于?-张量的迭代算法判定张量的正定性

5.1.判定?-张量正定性的迭代算法

5.2. 数值算例

5.3 本章小结

第六章 总结及展望

6.1 主要内容总结

6.2 研究展望

参考文献

在读期间发表的学术论文及研究成果

致谢