矩阵方程若干特殊解的迭代计算

摘要

线性约束矩阵方程及其相应的最小二乘问题是计算数学领域研究的重要课题之一，其在生物学、电学、光学、自动控制理论、线性最优控制等众多领域都有重要的应用。
　　本研究利用四元数矩阵的实表示及其性质，首先给出了求解四元数线性方程组Ax?b的分块Jacobi算法及其收敛条件；其次，基于四元数矩阵范数的定义，我们考虑了求解四元数矩阵方程最小二乘问题(此处省略公式)的纯虚四元数矩阵解．通过将经典LSQR算法的向量迭代格式转化为矩阵形式，给出了求解上述问题的极小范数解的迭代算法；最后通过具体的数值例子验证了以上两种算法的有效性。考虑了矩阵方程ABX=C的对称箭形矩阵解．通过构造线性算子和投影，给出了在相容条件下求解该问题的共轭梯度(CG)算法和交替投影(APM)算法．最后通过具体的数值例子验证、比较了求解该问题的四种迭代算法的有效性及其运算效率。进而，研究了矩阵方程最小二乘问题(此处省略公式)的对称箭形矩阵解．首先考虑了矩阵形式的LSQR算法，给出了求类极小范数解和极小范数解两种形式的迭代算法．其次，基于定义的线性算子和共轭梯度最小二乘(CGLS)算法，给出了求解上述问题的迭代算法及其理论性质．最后通过具体的数值例子验证了两种迭代算法的有效性。

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符号说明

1前言

1.1问题的研究背景和现状

1.2本文主要工作

2求四元数矩阵方程解的迭代方法

2.1 求四元数线性方程组Ax= b解的分块Jacobi算法

2.2 求四元数矩阵方 程AX=B纯虚四元数最小二乘解的LSQR算法

2.3 数值算例

3求矩阵方程AXB=C对称箭形矩阵解的迭代方法

3.1 求矩阵方程AXB=C对称箭形矩阵解的CG算法

3.2 求矩阵方程AXB=C对称箭形矩阵解的APM算法

3.3数值算例

4求矩阵方程AXB+CYD=E对称箭形最小二乘

4.1 求矩阵方程AXB+CYD=E对称箭形最小二乘解的LSQR算法

4.1.1 矩阵方程AXB+CYD=C的对称箭形类极小范数解

4.1.2 矩阵方程AXB+CYD=C的对称箭形极小范数解

4.2求矩阵方程AXB+CYD=E对称箭形最小二乘解的CGLS算法

4.3 数值算例

结论

参考文献

致谢

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