随机Navier-Stokes方程数值解的收敛性

摘要

自从随机微分方程的基本理论诞生以来，各种复杂的有限维随机模型伴随着随机It(o)公式、随机过程、半鞅理论的成熟而构建起来。随机微分方程在经济、生物、生态以及其它学科中得到了广泛的应用。近年来，人们又应用随机微分方程理论讨论了随机Navier-Stokes方程解的存在性、唯一性和最优控制。由于随机模型的复杂性，很难求得方程的解析解，所以数值方法显得尤为重要，而且还不能简单的将研究常微的数值方法拿来解决随机问题。本文构造一种数值方法,讨论随机Navier-Stokes方程数值解的收敛性,并给出了收敛的阶数。
　　 本论文主要内容为：第一章首先介绍了Navier-Stokes方程的简史、随机Navier-Stokes方程的研究现状及随机微分方程的几种数值格式及其收敛性。第二章为预备知识。第三章在扩散系数和漂移系数满足一致Lipschitz条件下，运用向前差分法和Gronwall引理对随机Navier-Stokes方程数值解的收敛性进行了讨论，得到随机Navier-Stokes方程数值解在均方意义下收敛到其解析解，在本章的最后部分给出了数值算例，验证了所得结论。第四章在扩散系数和漂移系数满足局部Lipschitz条件下，利用随机分析理论，研究了随机Navier-Stokes方程数值解的收敛性，得到随机Navier-Stokes方程数值解依概率收敛到其解析解。第五章首先把Poisson跳项嵌入到随机Navier-Stokes方程中去，然后根据Poisson过程的性质，利用It(o)公式、Burkholder-Davis-Gundy不等式和Doob不等式,在扩散系数、漂移系数和跳系数满足一致Lipschitz条件下，证明了带跳随机Navier-Stokes方程数值解在均方意义下收敛到其解析解。

目录

文摘

英文文摘

声明

第一章 引言

1.1介绍Navier-Stokes方程的简史

1.2随机Navier-Stokes方程研究现状

1.3随机微分方程的数值解及其收敛性

1.4本论文的创新点及主要内容

第二章 预备知识

2.1引言

2.2 Wiener过程

2.3 It(o)微分法则

2.4基本公式

第三章 随机Navier-Stokes方程数值解的均方收敛性

3.1引言

3.2预备

3.3主要结果

3.4数值算例

3.5本章小结

第四章 随机Navier-Stokes方程数值解的依概率收敛性

4.1引言

4.2预备与欧拉法

4.3主要结果

4.4本章小结

第五章 带跳随机Navier-Stokes方程数值解的收敛性

5.1引言

5.2预备

5.3主要结果

5.4本章小结

第六章 结论及展望

致 谢

参考文献

攻读硕士期间学术成果

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