求解椭圆型方程界面问题的浸入界面方法

摘要

本文对求解椭圆型方程界面问题的浸入界面方法进行了探讨。界面问题在实际生活中的应用非常广泛，如固化过程，晶体合成和材料复合。在求解界面问题时，根据物理背景及约束条件建立的微分方程中，会出现解及一些输入量在界面处不光滑或不连续的情形。因此，通常求解偏微分方程的方法不能直接用于求解界面问题。鉴于此，许多研究者提出了一些处理界面问题的方法，其中李志林提出的浸入界面方法是基于笛卡尔网格下的有限差分方法，主要使用界面处的跳跃条件修正原有的差分格式，确保了差分离散的精确性。该方法可以达到整体的二阶精度，并且能有效处理复杂的界面问题，目前已经有了很广泛的应用。本文对浸入界面方法的基本原理和已有的几种处理界面问题的方法做了简要介绍，并给出了浸入界面方法的一些应用实例。最后采用浸入界面方法求解数值算例，验证了方法的实用性和精确性，并指出了浸入界面方法未来的发展方向。

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摘要

第一章 引言

1．1 目前处理界面问题的主要方法

1．1．1 光滑法

1．1．2 调和平均法

1．1．3 浸入边界法

1．1．4 浸入界面方法

1．2 几种不同的浸入界面方法

1．2．1 广义浸入界面方法

1．2．2 使用有限元的浸入界面方法

1．2．3 极坐标下的浸入界面方法

1．3 浸入界面方法的应用

1．3．1 抛物型方程的界面问题的求解

1．3．2 Stokes流及带有移动界面的N-S方程的求解

1．3．3 模拟肖流和晶体合成

1．4 与浸入界面方法有关的方法

1．4．1 用于求解双曲型方程的界面问题的浸入界面方法

1．4．2 显式跳跃的浸入界面方法

1．4．5 幻影流体方法

第二章 浸入界面方法

2．1 一维椭圆型方程的界面问题的求解

2．1．1 跳跃条件的处理

2．1．2 有限差分方程的建立

2．1．3 简要的推导过程

2．2 二维椭圆型方程的界面问题的求解

2．2．1 局部坐标系的介绍

2．2．2 坐标转换后的界面关系式

2．2．3 建立不规则节点处有限差分格式

第三章 数值算例

3．1 一维问题

3．2 二维问题

第四章 结论与展望

4．1 结论

4．2 展望

参考文献

致谢